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Calcule a área limitada pela curva

x = 1 + e t

y = t - t 2

E pelo eixo x .

Passo 1

A área de uma curva é dada por

A = ∫ a b y d x

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de integração, vamos pensar o seguinte:

Queremos a área entre a curva e o eixo x . Só que o eixo x é justamente onde o y = 0 .

Assim, vamos igualar a componente y da curva a zero e achar valores para t em que isso ocorre.

Esses vão ser os valores do parâmetro que limitam o pedaço da curva que queremos calcular a área, ou seja, vai ser nosso intervalo de integração.

Vamos lá:

y = t - t 2 = 0

t 1 - t = 0

t = 0

Ou

1 - t = 0

t = 1

Dessa forma,

a = 0

b = 1

Sobre os outros termos da integral, o y é:

y = y t - 0 = t - t 2

E o d x é só pegar a parametrização do x e derivar em relação a θ :

x = 1 + e t

d x = e t   d t

Passo 3

Aí aqui a gente substitui tudo na integral e calcula.

A = ∫ 0 1 t - t 2 ( e t   )   d t

A = ∫ 0 1 t e t d t - ∫ 0 1 t 2 e t d t

Fazendo aquela integração por partes braba:

Da segunda integral:

u = t 2 → d u = 2 t   d t

d v = e t d t → v = e t

Assim

A = ∫ 0 1 t e t d t - t 2 e t 1 0 + ∫ 0 1 2 t e t d t

A = ∫ 0 1 t e t d t - 1 2 e 1 - 0 2 e 0 1 0 + 2 ∫ 0 1 t e t d t

A = 3 ∫ 0 1 t e t d t - e

Usando partes de novo:

u = t → d u = 1 d t

d v = e t d t → v = e t

A = 3 t e t 1 0 - ∫ 0 1 e t d t - e

A = 3 1 . e 1 - 0 . e 0 - e t 1 0 - e

A = 3 e - e 1 + e 0 - e

A = 3 - e

Resposta

A = 3 - e

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