Calcule a integral:

∫ 0 1 x x 2 + 4   d x

Passo 1

Opaaa, bora lá! Temos que calcular a integral:

∫ 0 1 x x 2 + 4   d x

Aqui a gente vai usar o método da substituição simples. Temos que olhar pra integral e pensar “o que que eu posso substituir por u aqui que facilitaria a conta?!”. (Não é só isso, esse é só o primeiro passo pra ajudar na escolha).

Nesse caso é:

u = x 2 + 4

Precisamos achar o d u então derivamos:

d u d x = 2 x → d x = 1 2 x   d u

Agora substituímos:

∫ x x 2 + 4   d x = ∫ x x 2 + 4 1 2 x   d u

= 1 2 ∫ u d u

Viu como a gente pode cortar o x da função com o x que estava em d x = 1 2 x   d u ?! Por isso pro u escolhido ser bom a sua derivada também deve estar dentro da função!

Passo 2

Arrasamos na escolha do u , agora precisamos atualizar os limites de integração:

u i n f e r i o r = 0 + 4 = 4

u s u p e r i o r = 1 + 4 = 5

Assim temos:

1 2 ∫ 4 5 u   d u

Que é o mesmo que:

1 2 ∫ 4 5 u 1 / 2   d u

Passo 3

Agora vamos integrar:

1 2 ∫ 4 5 u 1 / 2   d u = 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 4 5

= 1 2 2 3 u 3 2 4 5

= 1 3 u 3 2 4 5

Aplicando os limites de integração:

1 3 u 3 2 4 5 = 1 3 5 3 2 - 4 3 2  

= 1 3 5 3 - 4 3  

Simplificando:

= 1 3 5 5 - 8

Prontinhoo!

Resposta

∫ 0 1 x x 2 + 4   d x = 1 3 5 5 - 8

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