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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 9.Revisão - Ex. 88

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Calcule a integral definida.

∫ 0 π / 1 2 1 cos 4 ⁡ 3 x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 π / 12 1 cos 4 ⁡ 3 x   d x

O primeiro passo é fazer a mudança t = 3 x . Assim, d t = 3   d x :

I = 1 3 ∫ 0 π / 4 1 cos 4 ⁡ t   d t = 1 3 ∫ 0 π / 4 sec 4 ⁡ t   d t

Passo 2

Para resolver essa integral, temos que lembrar que

sec 2 ⁡ t = 1 + tan 2 ⁡ t

Assim,

sec 4 ⁡ t = sec 2 ⁡ t ⋅ sec 2 ⁡ t = 1 + tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t

Portanto,

I = 1 3 ∫ 0 π / 4 1 + tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t   d t

Agora vamos fazer u = tan ⁡ t ⇒ d u = sec 2 ⁡ t   d t . Mudando os limites de integração:

I = 1 3 ∫ 0 1 1 + u 2   d u

Passo 3

Por fim, basta fazer a integração:

I = 1 3 ∫ 0 1 1 + u 2   d u = 1 3 u + u 3 3 0 1

Logo,

I = 1 3 1 + 1 3 = 4 9

Resposta

4 9

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