Enunciado

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )   d x   d y

Passo 1

Galera, repare que y ≤ x ≤ 2 - y 2 , então vamos fazer algumas contas com isso:

x ≤ 2 - y 2

r cos ⁡ θ ≤ 2 - r 2 s e n 2 θ

r 2 cos 2 ⁡ θ ≤ 2 - r 2 s e n 2 θ

r 2 ≤ 2

r ≤ 2

Então já sabemos que 0 ≤ r ≤ 2 . Usando a outra inequação, temos:

y ≤ x

r   s e n   θ ≤ r cos ⁡ θ

s e n   θ ≤ cos ⁡ θ

- 3 π 4 ≤ θ ≤ π 4

Mas temos que 0 ≤ y ≤ 1 , ou seja, y ≥ 0 , então restringiremos nossa região a 0 ≤ θ ≤ π 4 .

Ou seja, convertendo para coordenadas polares, nossa integral será:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 ( r cos ⁡ θ + r   s e n   θ )   r   d r   d θ

Passo 2

Show! Pra calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 ( r cos ⁡ θ + r   s e n   θ )   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 4 ( cos ⁡ θ + s e n   θ )     d θ ∫ 0 2 r 2 d r = s e n   θ - cos ⁡ θ 0 π / 4 r 3 3 0 2 = s e n π 4 - cos ⁡ π 4 - s e n   0 + cos ⁡ 0 1 3 2 3 2 - 0 = 1 3 1 2 - 1 2 - 0 + 1 2 3 2 = 2 2 3

Resposta

2 2 3

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R x + yd A , onde R é a região que está a esquerda do eixo y e entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R a r c t gy xd A , onde R = x , y1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,0 ≤ y ≤ x } .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.Um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ De - x 2 - y 2d A , onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .