Enunciado

Considere a função f x , y = x 3 x 2 + y 2 . Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.

Passo 1

A equação do plano tangente é dada por

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto genérico onde o plano tangencia a função.

Calculando as derivadas

f x = 3 x 2 x 2 + y 2 - x 3 2 x x 2 + y 2 2 = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 x 2 + y 2 2

f x = x 4 + 3 x 2 y 2 x 2 + y 2 2

f y = - 2 x 3 y x 2 + y 2 2

No ponto x 0 , y 0

f x x 0 , y 0 = x 0 4 + 3 x 0 2 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2

f y x 0 , y 0 = - 2 x 0 3 y 0 x 0 2 + y 0 2 2

f x 0 , y 0 = x 0 3 x 0 2 + y 0 2

Passo 2

Substituindo os valores na equação do plano

z - x 0 3 x 0 2 + y 0 2 = x 0 4 + 3 x 0 2 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 x - x 0 - 2 x 0 3 y 0 x 0 2 + y 0 2 2 ( y - y 0 )

z = x 0 4 + 3 x 0 2 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 x - 2 x 0 3 y 0 x 0 2 + y 0 2 2 y - x 0 5 + 3 x 0 3 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 + 2 x 0 3 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 + x 0 3 x 0 2 + y 0 2

Para que um plano a x + b y + c z = d passe pela origem, a constante d tem que ser nula, neste caso

d = - x 0 5 + 3 x 0 3 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 + 2 x 0 3 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 + x 0 3 x 0 2 + y 0 2

Vamos manipular, tirando o MMC

d = - x 0 5 + 3 x 0 3 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 + 2 x 0 3 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 + x 0 3 x 0 2 + y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2

= - x 0 5 - 3 x 0 3 y 0 2 + 2 x 0 3 y 0 2 + x 0 5 + x 0 3 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 = 0

Logo o plano é dado pela equação

z = x 0 4 + 3 x 0 2 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2 x - 2 x 0 3 y 0 x 0 2 + y 0 2 2 y

E esse plano passa pela origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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