Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = e x y sen ⁡ z j + y tg - 1 ⁡ x z k

Passo 1

  1. O rotacional é dado como produto vetorial entre o operador
  2. ∇ = i ∂ ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z

    e o campo vetorial, então

    r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 0 e x y sen ⁡ z y tg - 1 ⁡ x z

    = ∂ ∂ y y tg - 1 ⁡ x z - ∂ ∂ z e x y sen ⁡ z i - ∂ ∂ x y tg - 1 ⁡ x z - ∂ ∂ z 0 j + ∂ ∂ x e x y sen ⁡ z - ∂ ∂ y 0 k

    = tg - 1 ⁡ x z - e x y cos ⁡ z i - y 1 1 + x 2 / z 2 1 z j + y e x y sen ⁡ z k

    r o t   F = tg - 1 ⁡ x z - e x y cos ⁡ z i - y z x 2 + z 2 j + y e x y sen ⁡ z k

    Passo 2

  3. O divergente é o produto escalar com o mesmo operador, então

d i v   F = ∂ ∂ x 0 + ∂ ∂ y e x y sen ⁡ z + ∂ ∂ z y tg - 1 ⁡ x z

= x e x y sen ⁡ z + y 1 1 + x 2 / z 2 - x z 2

d i v   F = x e x y sen ⁡ z - x y z 2 + x 2

Resposta

r o t   F = tg - 1 ⁡ x z - e x y cos ⁡ z i - y z x 2 + z 2 j + y e x y sen ⁡ z k

d i v   F = x e x y sen ⁡ z - x y z 2 + x 2

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