Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 8
Encontre a área da regiao sombreada, onde .
Passo 1
Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .No caso, esta bem explícito qual a função porem, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que sera o domínio de integração.
Teremos que onde é uma primitiva de , ou seja, se derivarmos teremos a função dentro da integral.
Passo 2
Na figura, a área sombreada esta no primeiro quadrante, partindo no sentido anti-horario, logo o ângulo percorre um quarto de volta partindo do 0, então temos que o intervalo será
Passo 3
Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:
Precisamos de uma substituição para resolver essa integral:
Usando as relações: e a fórmula do arco duplo do cosseno: . Trocando por , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 4
Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:
Usando que uma primitiva da função na segunda integral é , temos
Resposta
Logo, a resposta será
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