Enunciado

Encontre a área da regiao sombreada, onde r = s e n (2 theta) .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explícito qual a função porem, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que sera o domínio de integração.

Teremos que int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta = R (b) - R ( a ) onde R é uma primitiva de (1)/(2) r (theta)^2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

Passo 2

Na figura, a área sombreada esta no primeiro quadrante, partindo no sentido anti-horario, logo o ângulo percorre um quarto de volta partindo do 0, então temos que o intervalo será [0 , (pi)/(2)] .

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta = int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) s e n (2 theta)^2 d theta

Precisamos de uma substituição para resolver essa integral:

Usando as relações: s e n^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 e a fórmula do arco duplo do cosseno: cos (2 theta) = cos^2 (theta) - s e n^2 ( theta ) . Trocando theta por 2 theta , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

s e n^2 (2 theta) = (1 - cos (4 theta))/(2)

Passo 4

Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) s e n (2 theta)^2 d theta = int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (4 theta))/(4) d theta = int_0^((pi)/(2)) (1)/(4) d theta - int_0^((pi)/(2)) (cos (4 theta))/(4) d theta

Usando que uma primitiva da função na segunda integral é (s e n (4 theta))/(16) , temos

= ((pi)/(8) - (0)/(4)) - ((s e n (2 pi))/(16) - (s e n (0))/(16)) = (pi)/(8)

Resposta

Logo, a resposta será (pi)/(8)

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