Enunciado

Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada em um ponto especificado pelo valor de θ .

r = 2 + s e n 3 θ ,     θ = π / 4

Passo 1

Galera, a primeira coisa que podemos fazer aqui é escrever as equações paramétricas. Logo,

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Vamos derivar a equação dada para encontrarmos d r / d θ .

d r d θ = 3 c o s 3 θ

No ponto que nos foi dado, o valor de r é igual a:

r = 2 + s e n 3 π 4 = 2 + 2 2

Passo 2

Usando o método para encontrar a inclinação de curvas parametrizadas, temos:

d y d x = d y d θ d x d θ = d r d θ s e n θ + r c o s θ d r d θ c o s θ - r s e n θ

d y d x = 3 c o s ⁡ ( 3 θ ) s e n θ + 2 + 2 2 c o s θ 3 c o s ⁡ ( 3 θ ) c o s θ - 2 + 2 2 s e n θ

Passo 3

Vamos aplicar o valor do ângulo que nos foi dado no enunciado. Assim, com θ = π / 4 , a inclinação da reta tangente é:

d y d x = 3 c o s ⁡ ( 3 π 4 ) s e n ( π 4 ) + 2 + 2 2 cos ⁡ π 4 3 cos ⁡ 3 π 4 cos ⁡ π 4 - 2 + 2 2 s e n π 4

d y d x = - 1,5 + 2 + 2 4 - 1,5 - 2 - 2 4

d y d x = 6 4 - 2 4 - 2 6 4 + 2 4 + 2

d y d x = 4 4 - 2 8 4 + 2 = 1 - 2 2 + 2

Resposta

A inclinação da reta é igual a:

d y d x = 1 - 2 2 + 2

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Esboce a curva com a equação dada. r = - 3 cos ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r 2 = 9 sen ⁡ 2 θ
Esboce a curva com a equação dada. r = 1 - 2 sen ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r = 2 1 - sen ⁡ θ ,θ ≥ 0
Esboce a curva com a equação dada. r = sen ⁡ 2 θ