Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t - e t

y = t + e - t

Passo 1

A derivada primeira da curva é dada por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = t + e - t

d y d t = 1 - e - t

Agora a derivada de x :

x = t - e t

d x d t = 1 - e t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 1 - e - t 1 - e t = 1 - 1 e t 1 - e t = e t - 1 e t 1 - e t

d y d x = e t - 1 e t ∙ 1 1 - e t = - 1 e t = - e - t

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos.

d y d x = - e - t

d d t d y d x = + e - t

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir.

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = e - t 1 - e t

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer

d 2 y d x 2 = e - t 1 - e t > 0

Como e - t > 0 ess derivada segunda aí vai ser maior do que zero se

1 - e t > 0

e t < 1

O que ocorre quando t < 0 .

Resposta

d y d x = - e - t

d 2 y d x 2 = e - t 1 - e t

A concavidade da curva é para cima quando t < 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a equação da reta tangente à parábola y 2 = 4 p x no ponto
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo
Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo en
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo
Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo en
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo
Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva da
Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva da
Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva da