Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 44

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine os pontos da superfície y 2 = 9 + x z que estão mais próximos da origem.

Bom, a distância de um ponto ( x , y , z ) à origem é dada por:

d = x 2 + y 2 + z 2

Pra achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer a superfície y 2 = 9 + x z .

Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:

f x , y , x = x 2 + y 2 + z 2

E

g x , y , z = y 2 = 9 + x z

Para usar os multiplicadores de Lagrange precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Bom, no nosso caso então temos:

2 x , 2 y ,   2 z = λ ( - z , 2 y , - x )

Aí a gente iguala:

2 x = - λ z

2 y = λ 2 y

2 z = - λ x

Da primeira e terceira temos que:

λ =   - 2 x z =   - 2 z x

- 2 x 2 = - 2 z 2

x 2 = z 2

Se x = 0 , temos que z = 0 e y 2 = 9 → y = ± 3 .

Se x ≠ 0 , então temos pela segunda equação que y = 0   o u   λ = 1 ...

Passo 3

Bom, se y = 0 , temos:

9 - x z = 0

z = - 9 x

z 2 = 81 x 2 → x 2 = 81 x 2

x 4 = 81 → x = ± 3 = ∓ z

Agora, se λ = 1 , temos:

2 x = - z

2 z = - x

O que implica que x = y = 0 , e como estamos na condição de x ≠ 0 , essa não vale.

Passo 4

Os pontos que encontramos então são:

0 , ± 3,0 ,   - 3 ,   0,3 ,   ( 3,0 , - 3 )

Vamos ver em quais a distância dá menor então...

d = 0 2 + ± 3 2 + 0 2 = 3

d = 3 2 + 0 2 + 3 2 = 18 = 3 2

Os pontos de menor distância então são 0 , ± 3,0 .

Resposta

0 , ± 3,0

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