Enunciado

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A função y ( t ) satisfaz a equação diferencial d y d t = y 4 - 6 y 3 + 5 y 2

  1. Quais são as soluções constantes da equação?
  2. Para quais valores de y a função está aumentando?
  3. Para quais valores de y a função está diminuino?

Passo 1

  1. Queremos encontrar as soluções da equação diferencial d y d t = y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 que são constantes, para isso precisamos que d y d t = 0 , portanto:
  2. y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 = 0

    y 2 ( y 2 - 6 y + 5 ) = 0

    y 2 = 0 ou ( y 2 - 6 y + 5 ) = 0

    Então são soluções constantes da equação y = 0 , y = 1 e y = 5

    Passo 2

  3. Precisamos determinar para quais valores de y a nossa função será crescente. Para que isso aconteça precisamos que d y d t > 0 . Então,
  4. y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 > 0

    y 2 ( y 2 - 6 y + 5 ) > 0

    Como y 2   é sempre maior que 0, precisamos apenas analisar o caso em que ( y 2 - 6 y + 5 ) > 0

    Podemos descobrir esse intervalo facilmente ao olharmos o gráfico de y 2 - 6 y + 5 , onde o eixo horizontal corresponde ao eixo y e o vertical ao eixo t.

    Com isso, podemos concluir que ( y 2 - 6 y + 5 ) > 0 quando y < 1 ou y > 5 . Então a função y ( t ) está aumentando justamente quando y < 1 e y > 5 , podemos escrever isso também da seguinte forma: y ∈ - ∞ ,   1 ⨆   ( 5 ,   ∞ )

    Passo 3

  5. Agora nosso objetivo é encontrar para quais valores de y a função é decrescente. Ou seja, d y d t < 0 .

y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 < 0

y 2 ( y 2 - 6 y + 5 ) < 0

Como y 2 ≥ 0 , precisamos garantir que ( y 2 - 6 y + 5 ) < 0 para que nossa condição seja satisfeita.

Podemos ver quando isso acontece ao olharmos o gráfico dessa função:

Veja que ( y 2 - 6 y + 5 ) < 0 quando 1 < y < 5

Então a função y(t) será decrescente quando 1 < y < 5 . Também podemos escrever esse mesmo intervalo como y ∈   ] 1,5 [  

Resposta

  1. y = 0 ,   y = 1   e   y = 5  
  2. y < 1 e y > 5
  3. 1 < y < 5

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Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das
Escreva uma equação diferencial da forma d y d t = a y + b   cuja
Escreva uma equação diferencial da forma d y d t = a y + b   cuja
Ache a solução completa da equação diferencial (5) d y d x = 3 x y ² ²
Ache a solução completa da equação diferencial (8) d y d x = x ² ( x 3
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas
Ache a solução completa da equação diferencial (12) d ² y d x ² = 2 x
Ache a solução completa da equação diferencial (14) d ² u d v ² = t g
Ache a solução completa da equação diferencial (10) d u d v = c o s 2
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas