Calcule a integral

∫ x sen 3 ⁡ x d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

∫ x sen 3 ⁡ x d x

Para isso, podemos resolver essa integral através da técnica de integração por partes, onde:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde teremos,

u = x → d u = d x

d v = sen 3 ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a integração por partes, temos:

∫ x sen 3 ⁡ x d x = x - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x d x

Resolvendo a integral ficamos com:

∫ x sen 3 ⁡ x d x = x - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x - - ∫ cos ⁡ x d x + 1 3 ∫ cos 3 ⁡ x d x ∴

∫ x sen 3 ⁡ x d x = x - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x - - sin ⁡ x + 1 3 ∫ cos 3 ⁡ x d x

Passo 3

Resolvendo a integral que nos restou, temos:

1 3 ∫ cos 3 ⁡ x d x = 1 3 ∫ cos 2 ⁡ x * cos ⁡ x d x

Sabemos que sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 , logo:

1 3 ∫ cos 3 ⁡ x d x = 1 3 ∫ 1 - sin 2 ⁡ x * cos ⁡ x d x

Fazendo u = sin ⁡ x ∴ d u = cos ⁡ x   d x , temos:

1 3 ∫ 1 - sin 2 ⁡ x * cos ⁡ x d x = 1 3 ∫ 1 - u 2 * cos ⁡ x d u cos ⁡ x ∴

1 3 ∫ 1 - sin 2 ⁡ x * cos ⁡ x d x = 1 3 ∫ 1 - u 2 * d u ∴

1 3 ∫ 1 - sin 2 ⁡ x * cos ⁡ x d x = 1 3 u - u 3 3 ∴

1 3 ∫ 1 - sin 2 ⁡ x * cos ⁡ x d x = 1 3 sin ⁡ x - sin 3 ⁡ x 3

Passo 4

Dessa forma, substituindo na expressão do Passo 2, temos:

∫ x sen 3 ⁡ x d x = x - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x - - sin ⁡ x + 1 3 sin ⁡ x - sin 3 ⁡ x 3 + C ∴

Reorganizando, obtemos:

∫ x sen 3 ⁡ x d x = x - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x - - 2 3 sin ⁡ x - 1 9 sin 3 ⁡ x + C

Belezinha?? 😉

Resposta

∫ x sen 3 ⁡ x d x = x - cos ⁡ x + 1 3 cos 3 ⁡ x - - 2 3 sin ⁡ x - 1 9 sin 3 ⁡ x + C

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