Enunciado

Se f x ,   y ,   z = x y 2 z 3 + a r c s e n   x z , determine f x z y . Dica: qual ordem de diferenciação é a mais fácil?

Passo 1

Então pessoal, em essência, apenas decodificando a notação utilizada pelo enunciado, temos que encontrar:

f x z y = ∂ ³ f ∂ y ∂ z ∂ x

No entanto, assim como o enunciado nos indica, essa não é uma ordem muito interessante para se derivar. Mas po, tem como trocar a ordem sem alterar o resultado dessa forma? Pelo Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, temos que se duas funções forem contínuas, então:

f x y = f y x

E isso pode ser estendido para três variáveis também, como é o nosso caso. Aqui vale ressaltar também que começamos a derivar da direita para a esquerda na notação que escrevemos ali em cima, beleza?

Passo 2

Uma ordem muito interessante é derivar f em função de y logo de início, uma vez que isso facilitaria muito nossa derivação pois cancelaria a função a r c s e n   x z que não depende de y . Sendo assim, a ordem seria:

f y x z = ∂ ³ f ∂ z ∂ x ∂ y

Agora que já sabemos o que fazer, vamos derivar então!

f x ,   y ,   z = x y 2 z 3 + a r c s e n   x z

∂ f ∂ y = 2 x y z ³

∂ ² f ∂ x ∂ y = 2 y z ³

∂ ³ f ∂ z ∂ x ∂ y = 6 y z ²

Sendo assim, temos:

f x z y = f y x z = 6 y z ²

Resposta

f x z y = 6 y z ²

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