12. ∫ 3 u 5 - 2 u 3 d u

Passo 1

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ 3 u 5 d u ] - [ ∫ ( 2 u 3 ) d u ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ ( a u )   d u = a ∫ u d u .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 3 ∫ u 5 d u ] + [ 2 ∫ u 3 d u ]

Passo 3

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( u n ) d u =   u n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expooente da variável.

Passo 4

Agora que temos nossa integral preparada e sabemos o método para integrar uma função polinomial podemos desenvolve-la.

I = [ 3 ∫ u 5 d u ] - [ 2 ∫ u 3 d u ]

I = 3 u 5 + 1 5 + 1 - 2   u 3 + 1 3 + 1 + c

I = 3 u 6 6 - 2 u 4 4 + c

I = u 6 2 - u 4 2 = c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Pronto, chegamos a resposta da integral proposta.

I = u 2 6 - u 4 2 + c

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