Enunciado

Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por

σ t = t - sin ⁡ t ,   1 - cos ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ 2 π

a) Determine os intantes t 1 , t 2   ∈ 0,2 π onde v t = 1

Passo 1

Show galera, vamos lembrar que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição:

V t = σ ' t

E vamos lembrar que a velocidade escalar é a norma desse vetor:

v t = V t

Logo, o que queremos é calcular a função:

v t = σ ' t

Pra isso, derivamos primeiro:

σ t = t - sin ⁡ t ,   1 - cos ⁡ t    

σ ' t = 1 - cos ⁡ t ,   sin ⁡ t

E calculamos a norma depois:

σ ' t = 1 - cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t 2

σ ' t = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t

σ ' t = 1 - 2 cos ⁡ t + 1

σ ' t = 2 - 2 cos ⁡ t

v t = 2 - 2 cos ⁡ t

Como queremos achar os valores de t que satisfazem v t = 1 , fazemos:

1 = 2 - 2 cos ⁡ t

1 = 2 - 2 cos ⁡ t

- 1 = - 2 cos ⁡ t

1 2 = cos ⁡ t

Os únicos dois arcos t com esse valor de cosseno dentro de uma volta, ou seja, para 0 ≤ t ≤ 2 π , vão ser:

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

Resposta

t 1 = π 3

t 2 = 5 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam γ : a , b → R n e δ : c , d → R n duas curvas com derivadas contínuas. Suponha que exista g : c , d → a , b , com derivada contínua e tal que g ' u0 em c , d . Suponha, ainda, g c = a ,g d = b e
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = t + e - t ,y = t - e - t ,0 ≤ t ≤ 2
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = t + t ,y = t - t ,0 ≤ t ≤ 1
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = t - 2 sen ⁡ t ,y = 1 - 2 cos ⁡ t ,0 ≤
Trace a curva x = sen ⁡ t + sen ⁡ 1,5 t ,y = cos ⁡ t e encontre seu comprimento correto com 4 casas decimais.