Enunciado

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Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m³ de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque.

Passo 1

Beleza galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor mínimo para as dimensões do paralelepípedo capaz de estocar 270 m³.

Então neste caso a condição será:

s . a .                 a b c = 270

Agora precisamos montar a função a ser minimizada, ok?

Para achar as dimensões nós precisamos achar a área total, mas antes vamos ver a caixa:

A equação será então:

A = 2 a b + 2 a c + 2 b c

Como queremos minimizar a área, nós teremos o seguinte problema de otimização:

m in ⁡                                 2 a b + 2 a c + 2 b c

s . a .                                                         a b c = 270

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = 2 a b + 2 a c + 2 b c - λ a b c - 270

Derivando L em relação às variáveis a, b e c e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ a = 2 b + 2 c - λ b c = 0

∂ L ∂ b = 2 a + 2 c - λ a c = 0

∂ L ∂ c = 2 a + 2 b - λ a b = 0

∂ L ∂ λ = - a b c - 270 = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

a = b

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

b = c

Colocando na última equação:

a b c - 270 = 0

a 3 = 270

a = 3 10 3

Achando b e c:

b = c = 3 10 3

Sendo assim, a dimensão do paralelepípedo é 3 10 3 ,   3 10 3 ,   3 10 3 .

Tranquilinha?

Resposta

3 10 3 ,   3 10 3 ,   3 10 3 .

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