Enunciado

Prove a parte i do Teorema do Limite 12 ( 2.4 . 4 ) se “ x → a ” for substituído por “ x → + ∞

Passo 1

Um bom primeiro passo é a gente enunciar o teorema e substituir conforme pedido. Ele diz que, se a for um número real qualquer e se lim x → a ⁡ f x = 0 e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não-nula, então se c > 0 e se f x → 0 por valores positivos de f x então:

lim x → a ⁡ g x f x = + ∞

Basicamente é trocar esse texto por:

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

lim x → + ∞ ⁡ g x = c > 0

lim x → + ∞ ⁡ g x f x = + ∞

Passo 2

Podemos fazer essa prova tomando um limite arbitrário:

lim x → + ∞ ⁡ 5 x 3 x 2 + 5 x

Podemos modificar esse limite de forma a por em evidência, em cima e em baixo, a maior potência de x que aparece:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 5 x 3 1 x + 5 x 2

Dessa forma, podemos cortar em cima e em baixo os termos em comum:

lim x → + ∞ ⁡ 5 1 x + 5 x 2

Da propriedade dos limites, podemos reescrever:

lim x → + ∞ ⁡ 5 1 x + 5 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 5 lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 5 x 2

De forma que ao estabelecermos:

g x = 5

f x = 1 x + 5 x 2

Podemos confirmar que:

lim x → + ∞ ⁡ g x = 5 = c > 0

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 5 x 2 = 0 + 0 = 0

Logo o limite do denominador é 0 , e o denominador tende a 0 por valores positivos. O limite do numerador é 5 e, assim, pelo Teorema do Limite 12   ( i )   ( 2.4 . 4 ) , segue que:

lim x → + ∞ ⁡ 5 x 3 x 2 + 5 x = lim x → + ∞ ⁡ g x f x = + ∞

Conceitualmente falando, pela propriedade dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ g x f x = lim x → + ∞ ⁡ g x lim x → + ∞ ⁡ f x = c 0 = + ∞

Dividindo-se c > 0 por números cada vez mais próximos de 0 e positivos, tem-se números cada vez maiores. Dividindo por exemplo por 0,00001 , tem-se 10000 ∙ c de resultado

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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