Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ n e - n

Passo 1

A gente pode ver que nossa é tem termos com sinais alternados. Então, os testes de convergência que aprendemos até aqui não se aplicam mais, uma vez que eles só funcionavam para séries com termos positivos! Esse tipo de série retratada aqui é chamada de série alternada e segue o formato

a n = - 1 n - 1 b n                   o u                     a n = - 1 n b n

onde b n é um número positivo. O Teste da Série Alternada diz que, se os termos de uma série alternada decrescem para 0 em valor absoluto, então a série converge.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ n e - n

O Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada converge se:

  1. b n é uma sequência decrescente;
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0 .

Temos que b n = n e n . Vamos verificar se as condições mencionadas acima são atendidas.

  1. Não é óbvio que b n seja decrescente, principalmente por conta do n 2 no numerador. No entanto, se considerarmos a função relacionada f x = x e x , nós encontramos:
  2. f ' x = e x - x e x e 2 x = 1 - x e x

    Como estamos considerando valores de x positivos, vemos que f ' x < 0 quando x > 1 , ou seja, f é decrescente no intervalor ( 1 , ∞ ) .

  3. Vamos agora ver como fica o limite!

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n e - n

lim n → ∞ ⁡ n e n = ∞ ∞

Temos aqui uma indeterminação! Para resolver esse impasse, vamos aplicar a regra de L’Hospital! Assim,

lim n → ∞ ⁡ 1 e n = 0

Logo, a segunda condição também foi satisfeita. Assim, como as condições atendidas, podemos dizer que a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n e - n converge!

Resposta

A série converge!

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