Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

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Enunciado

Passo 2

Passo 3

Fala aí, galerinha! Mais um exercício de integral de linha de um campo vetorial e vamos resolver essa questão bem rapidinho aplicando a curva na integral que queremos calcular!

Veja que a nossa definição da integral de linha é:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t ⋅ d t

E o que nosso enunciado nos deu foi que a função F é:

F x , y , z = x ⋅ i + y ⋅ j - x ⋅ y ⋅ k

Enquanto a função vetorial r é a expressão:

r t = cos ⁡ t ⋅ i + sin ⁡ t ⋅ j + t ⋅ k

E nosso intervalo de integração a , b é definido no próprio enunciado no intervalo de t :

0 ≤ t ≤ π

Vamos lembrar que os valores que estão marcados em negrito, são os valores que são vetores, então tanto faz usar a setinha em cima da letra ou deixar ela em negrito 😊

Agora é hora de separar os elementos que vamos usar na nossa fórmula!

Passo 4

No passo passado falamos que a definição da integral de linha é dada por

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t ⋅ d t

Considerando que a função vetorial r ( t ) é:

r t = cos ⁡ t ⋅ i + sin ⁡ t ⋅ j + t ⋅ k

Calculando a derivada de r → ( t ) , chegamos que:

d r d t = cos ⁡ t ⋅ i + sin ⁡ t ⋅ j + t ⋅ k ' = - sin ⁡ t ⋅ i + cos ⁡ t ⋅ j + 1 ⋅ k

Finalizamos essa derivada quando chegamos em:

r ' t = - sin ⁡ t ⋅ i + cos ⁡ t ⋅ j + 1 ⋅ k

Chegamos na derivada!

Passo 5

Nossa expressão F ( t ) dada no enunciado é:

F x , y , z = x ⋅ i + y ⋅ j - x ⋅ y ⋅ k

Temos que descobrir na nossa função vetorial r ( t ) quem são os valores x e y :

r t = cos ⁡ t ⋅ i + sin ⁡ t ⋅ j + t ⋅ k

O valor de x é aquele que acompanha o vetor unitário i , enquanto o valor de y é uqe acompanha o vetor unitário j :

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t  

Logo, nossa expressão F ( r t ) se torna:

F x , y , z = x ⋅ i + y ⋅ j - x ⋅ y ⋅ k → F r t = cos ⁡ t ⋅   i + sin ⁡ t ⋅ j - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ k

Chegamos na nossa expressão de F ( r ( t ) ) !

Passo 6

Ta na hora mais legal da questão: HORA DE APLICAR OS VALORES NA FÓRMULA!

Chegamos nos seguintes dados:

a , b = 0 ≤ t ≤ π

F r t = cos ⁡ t ⋅   i + sin ⁡ t ⋅ j - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ k

r ' t = - sin ⁡ t ⋅ i + cos ⁡ t ⋅ j + 1 ⋅ k

Nossa fórmula da integral de linha é:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t ⋅ d t

Então aplicando nossos valores:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t ⋅ d t

∫ C F ⋅ d r = ∫ 0 π cos ⁡ t ⋅ i + sin ⁡ t ⋅ j - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ k ⋅ - sin ⁡ t ⋅ i + cos ⁡ t ⋅ j + 1 ⋅ k ⋅ d t

Para fazer esse produto escalar, temos que fazer o produto do primeiro valor do primeiro valor do segundo vetor e somar com o produto do segundo valor do primeiro vetor com o segundo valor do segundo vetor e assim por diante:

cos ⁡ t ⋅ i ⋅ - sin ⁡ t ⋅ i = - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t

sin ⁡ t ⋅ j ⋅ cos ⁡ t ⋅ j = cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t

- cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ k ⋅ 1 ⋅ k = - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t

Logo nossa integral fica como:

∫ C F ⋅ d r = ∫ 0 π - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ d t = ∫ 0 π - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ d t

Resolvendo essa integral, ficamos com:

∫ C F ⋅ d r = - 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ t 0 π

Aplicando esses valores:

∫ C F ⋅ d r = - 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ π - - 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ 0

∫ C F ⋅ d r = - 1 2 ⋅ 0 2 - - 1 2 ⋅ 0 2 = 0 - 0

∫ C F ⋅ d r = 0

Questão finalizada com sucesso, pessoal!!!

Resposta

∫ C F ⋅ d r = 0

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