Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

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Enunciado

Sejam

F → x , y = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

e

G → x , y = e x y ,   e x

Calcular a integral de campo vetorial ∫ C F → + G →   d r → , onde C é a curva γ t = 1 + t - t 2 cos ⁡ 2 π t ,   1 + t - t 2 s e n 2 π t , para t ∈ 0,1 .

Passo 1

A questão nos pede

∫ C F → + G →   d r →

Que é o mesmo que

∫ C F →   d r → + ∫ C G →   d r →

Observando os campos, em F notamos logo existir uma singularidade. Já em G não, então vamos começar por G que parece mais tranquila. Pelo teorema de green temos:

∫ C G →   d r → = ∫ C ∂ G 1 ∂ y - ∂ G 2 ∂ x   d x d y

G → x , y = e x y ,   e x

∂ G 1 ∂ y = e x

∂ G 2 ∂ x = e x

∂ G 1 ∂ y - ∂ G 2 ∂ x = e x - e x = 0

Logo:

∫ C G →   d r → = ∫ C ∂ G 1 ∂ y - ∂ G 2 ∂ x   d x d y = 0

Delicinha quando as coisas dão zero. Menos trabalho pra gente. Partindo agora pra próxima integral

Passo 2

Queremos agora calcular ∫ C F →   d r →   quando C → c u r v a   γ t = 1 + t - t 2 cos ⁡ 2 π t ,   1 + t - t 2 s e n 2 π t ,   p a r a   t ∈ 0,1

Como que faz pra calcular a integral de linha nesse campo horroroso? Eu mesmo não sei fazer, mas como estamos trabalhando com um campo com singularidade em (0,0) vamos aplicar o teorema de green. Nosso teorema pra essa caso fica assim:

∫ γ   F . d r + ∫ σ   F . d r = ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Aonde σ   será a nova curva que vamos usar para excluir a singularidade.

∫ γ   F . d r = ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ σ   F . d r

Calculando ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

O campo vetorial pode ser escrito como F x ,   y = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 = x 2 + y 2 - x ( 2 x ) x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 = - x 2 + y 2 + y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ γ   F . d r + ∫ σ   F . d r = ∬ Ω   0 d x d y = 0

Passo 3

Maravilha! Vamos então agora só calcular a integral de linha em cima da curva que escolhemos pra excluir a singularidade da origem. No caso a gente ainda não escolhei a curva. Pra facilitar nossa vida, observa que no denominador da singularidade temos ( x 2 + y 2 ) certo? Então vamos usar uma esfera de raio 1, assim, quando formos aplicar a parametrização no campo, nosso denominador vai ficar valendo só 1! Facilita nossa vida, e faz o serviço de excluir a singularidade, haha, vem comigo.

σ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

σ ' t = ( - s e n   t ,   c o s t )

F x ,   y = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

F σ t = - s e n   t 1 ,   c o s t 1

Montando então a integral:

∫ 2 π 0 - s e n t ,   c o s t - s e n t ,   c o s t d t

∫ 2 π 0 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

∫ 2 π 0 d t = 2 π

Passo 4

Prontinho, voltando então temos:

∫ C F → + G →   d r → = ∫ C F →   d r → + ∫ C G →   d r → = ∫ σ   F . d r = 2 π

Resposta

2 π

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7) Calcule ∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ é uma curva