Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 28

28) Seja F = P ,   Q de classe C 1 em U = R 2 - 0 ,   2 ,       0   ,   - 2 , tal que Q x = x + 2 + P y , sejam C 1 :     x 2 + y 2 = 16 , C 2 :     x 2 + y - 2 2 = 4 e C 3 :     x 2 + y + 2 2 = 4 . Calcule

Sabendo que

e

Passo 1

Eiiita! Que confusão de informações Rsrs! Para começarmos a destrinchar tuuuudo isso, comecemos pelo desenho dessas 3 curvas (que são circunferências):

Bem! Repare que o que queremos é a integral de linha em C 2 girando no sentido anti-horário, pois

Note também que necessitamos de alguma coisa que une as informações das três integrais de linha, e essa “coisa” só pode ser o Teorema de Green:

D   F d r = D   Q x - P y   d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como podemos ver, a integral de linha que entra na igualdade de Green, é uma integral calculada na borda da região fechada D :

Como no nosso caso a borda D são as 3 curvas: D = C 1 C 2 C 3 ...

D   F d r = D   Q x - P y   d A                      

C 1   F d r + C 2   F d r + C 3   F d r = D   Q x - P y   d A

Olha que relação mara !

Agora tome cuidado, pois para essa igualdade estar verdadeira, a curva de fora C 1 tem que estar girando no sentido anti-horário e as demais, no sentido oposto:

Passo 3

Como temos essa igualdade

Se passarmos essa integral de linha em C 2 pro lado de cá, ela inverte o sentido de giro:

Passo 4

Com a segunda igualdade que obtivemos diretamente do enunciado:

Jogando novamente a integral de linha de C 2 pra lá...

Passo 5

Com esses dois resultados...

Podemos somar ambas as equações...

Ou seja, passando uma daquelas integrais em C 2 pra direita e invertendo o sinal...

Substituindo esse resultado no teorema de Green...

Se buscamos então a solução dessa integral de linha, calculemos o resultado da integral dupla e está tudo certo !

Passo 6

Como

Q x = x + 2 + P y    

Q x - P y = x + 2

Substituindo na integral dupla...

D   Q x - P y   d A = D   x + 2   d A  

D   x + 2   d A = D   x   d A + 2 D     d A

A integral de 1   d A é a área da região D :

Que nada mais é do que a subtração da área da maior por 2 vezes a área da menor (já que elas tem o mesmo raio)...

D     d A = π 4 2 - 2 π 2 2 =

D     d A = 8 π

Quanto a integral em x ... Vem comigo ;)

Passo 7

Cara, não sai calculando essa integral aí doidamente não. Essa é um daqueles momentos que se você parar para pensar um pouco durante 1 minuto, pode te poupar 1 hora:

Repare que a região D tem uma simetria em relação ao eixo y :

Essa simetria pode ser comprovada para o seu professor, fazendo a seguinte análise:

Os pontos com simetria no eixo y são:

x ,   y             - x ,   y

Se substituirmos ambos pontos nas equações das curvas que delimita a região (as três equações de circunferências), veremos que ambos dão a mesma equação:

x ,   y       ( x ) 2 + y 2 = 16         x 2 + y 2 = 16

- x ,   y       - x 2 + y 2 = 16         x 2 + y 2 = 16

O mesmo pode ser feito com as demais circunferências. Como a equação de fato continuou a mesma, essa simetria existe, sacou?

Outra coisa legal é que a função que estamos integrando: f x ,   y = x , é uma função ímpar, pois:

f x ,   y = x             f - x ,   y = - x = - f x ,   y

E cara, a integral de uma função ímpar dentro de uma região simétrica é 0 :

D   x   d A = 0

Passo 8

Então... Como é vimos...

Isolando a integral de linha... E substituindo os valores:

C 2   F d r = 18 π - D   x   d A + 2 D     d A =

C 2   F d r = 18 π - 16 π =

2 π

Resposta

2 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas