Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2014.1, Questão 2

Calcule a integral de linha C   F . d r do campo

F = - ( y - 1 ) x - 1 2 + y - 1 2 , x - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 3 x

Ao longo de uma curva C fechada simples orientada positivamente e satisfazendo as duas seguintes propriedades:

  1. O círculo de centro em ( 0,0 ) e raio 4 está no interior da região limitada pela curva C ;
  2. A área da região delimitada por C é 25 π .

Passo 1

Bom, se a questão relaciona uma integral de linha com uma área (integral dupla), já sabemos que estamos falando de Green. Ainda mais porque ela não nos dá essa curva C .

Certo, se estamos falando de Green, vamos começar calculando o termo F 2 x - F 1 y :

F 2 x = 1 x - 1 2 + y - 1 2 - x - 1 2 x - 1 x - 1 2 + y - 1 2 2 + 3

F 2 x = x - 1 2 + y - 1 2 - 2 x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2 2 + 3

F 2 x = y - 1 2 - x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2 2 + 3

F 1 y = - x - 1 2 + y - 1 2 - - y - 1 2 y - 1 x - 1 2 + y - 1 2 2

F 1 y = - x - 1 2 - y - 1 2 + 2 y - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2 2

F 1 y = y - 1 2 - x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2 2

Então vamos ter

F 2 x - F 1 y = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos aplicar Green, mas com calma. Repare que temos uma singularidade no ponto x = y = 1 (o denominador do campo dá zero), portanto, precisamos excluir ese ponto da região.

Bom como a questão fala que o círculo de centro em ( 0,0 ) e raio 4 está no interior da região limitada pela curva C , poderíamos usar esse círculo para isolar o ponto (repare que o ponto está dentro dele). No entanto, isso pode não ser uma boa ideia por causa do denominador do campo: x - 1 2 + y - 1 2 . Ia ser meio complicado de resolvermos essa integral de linha usando uma circunferência de raio 4 !

Seria muito melhor se a gente isolasse esse ponto com a circunferência x - 1 2 + y - 1 2 = 1 .

E nós podemos fazer isso, porque essa circunferência está dentro da cicunferência de raio 4 centrada na origem, que o problema afirma estar dentro de C . Portanto, a circunferência de raio 1 deslocada também está dentro de C ! Ficou confuso? Se liga nessa imagem:

Imagina que a curva verde grande é a nossa curva C que não conhecemos, então eu botei uma bem aleatória! A curva vermelha é a nossa circunferência de raio 4 dentro de C e a circunferência menorzinha verde é a curva que criamos para remover a singularidade (o pontinho preto).

Sendo, então, D a região entre C e essa circunferência verde e sendo C orientada no sentido anti-horário e a circunferência horário, temos:

C   F . d r + c i r c u n f   F . d r = D   F 2 x - F 1 y = D   3 d x d y = 3 Á r e a ( D )

A questão também fala que a área da região delimitada por C é 25 π . Podemos escrever então:

C   F . d r + c i r c u n f   F . d r = 3 Á r e a D = 3 Á r e a C - Á r e a ( c i r c u n f )

Como a circunferência tem raio 1 , sua área é dada por π :

C   F . d r + c i r c u n f   F . d r = 3 25 π - π = 72 π

Passo 3

Agora falta a integral na circunferência. Vamos parametrizá-la em coordenadas polares deslocadas com r = 1 :

x - 1 2 + y - 1 2 = 1

σ θ = cos θ + 1 ,   s e n   θ + 1

Como ela gira no sentido horário, θ vai de 2 π a 0 . Agora derivamos isso aí: σ ' θ = - s e n   θ ,   cos θ

Aplicamos a fórmula:

c i r c u n f   F x , y d r = a b F x θ ,   y θ σ ' θ d θ

F x θ ,   y θ = ( - s e n   θ , cos θ + 3 cos θ + 3 )

F x θ ,   y θ = ( - s e n   θ , 4 cos θ + 3 )

c i r c u n f   F x , y d r = 2 π 0 ( - s e n   θ , 4 cos θ + 3 ) - s e n   θ ,   cos θ d θ

= 2 π 0 s e n 2 θ + 4 cos 2 θ + 3 cos θ d θ =

= 2 π 0 ( s e n 2 θ + cos 2 θ ) + 3 cos 2 θ + 3 cos θ d θ =

= 2 π 0 1 + 3 cos 2 θ + 3 cos θ d θ =

Lembrando que

cos 2 θ = 1 + c o s ( 2 θ ) 2

= 2 π 0 1 + 3 2 1 + cos 2 θ + 3 cos θ d θ =

= 5 θ 2 + 3 4 s e n 2 θ + 3 s e n   θ 2 π 0 =

= - 5 π =

Passo 4

Temos, então:

C   F . d r = 72 π - c i r c u n f   F . d r = 72 π + 5 π = 77 π

Resposta

77 π

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