Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 228

Calcule a integral de linha do campo vetorial

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 2 x

ao longo da curva C de equação x 2 4 + y 2 9 = 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

Essa integral de linha parece um pouco complicada de se calcular diretamente pela definição. Vamos, então, usar o Teorema de Green.

Mas aqui temos um problema: o campo não está definido em toda a região dentro da elipse, pois temos uma descontinuidade na origem, se substituirmos ( 0,0 ) na função teremos zero no denominador. O que faremos então? É simples, basta tirarmos a origem da jogada. Se fizermos uma circunferência que “envolva” a origem e chamarmos de D a região entre a circunferência e a elipse, o problema está resolvido. Faremos um circunferência γ de raio 1 para facilitar nossos cálculos. Vamos fazer o novo gráfico para ver como fica essa parada

Temos então:

C   F d r + γ   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y - γ   F d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x x x 2 + y 2 + 2 x =

= x 2 + y 2 - x ( 2 x ) x 2 + y 2 2 + 2 =

= - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + 2

F 1 y = y - y x 2 + y 2 =

= - x 2 + y 2 - y 2 y x 2 + y 2 2 =

= - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

F 2 x - F 1 y = 2

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

C   F d r + γ   F d r = D   2 d x d y = 2 área D

A área de D é a área da elipse, dada por π . a . b (onde a e b são seus semieixos) menos a do círculo. Então:

D   2 d x d y = 2 2 × 3 × π área da elipse   - π × 1 2 área do círculo = 10 π

Guarde esse resultado. Agora vamos calcular a integral ao longo da circunferência.

Passo 4

Parametrizando a circunferência, temos: γ = ( cos θ , sen θ ) com θ variando de 2 π a 0 (pois a circunferência está orientada no sentido horário, contrário ao trigonométrico).

Temos γ ' = ( - sen θ , cos θ )

Você poderia utilizar o intervalo de 0 a 2 π desde que considerasse que essa integral teria sinal oposto, pois:

γ   F d r = - γ _   F d r

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:

a b F x t ,   y t σ ' t   d t

Temos:

γ   F d r =   2 π   0 - sen θ sen 2 θ + cos 2 θ ,   cos θ sen 2 θ + cos 2 θ + 2 cos θ - sen θ , cos θ d θ =

=   2 π   0 - sen θ ,   cos θ + 2 cos θ - sen θ , cos θ d θ =

=   2 π   0 sen 2 θ +   3 cos 2 θ   d θ =

=   2 π   0 1 +   2 cos 2 θ   d θ =

Passo 6

Agora vamos calcular o valor dessa integral. Para isso usaremos a equação do arco duplo: cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2

=   2 π   0 1 +   1 + cos 2 θ d θ =   2 π   0 2 + cos 2 θ d θ =

= 2 θ + sen 2 θ 2 2 π 0 = - 4 π

Passo 7

O que queremos calcular é a integral de linha ao longo de C , certo? Substituindo os valores que encontramos em:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y - γ   F d r

Temos:

C   F d r = 10 π - - 4 π =

Resposta

14 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas