Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UFF - Cálculo IIIA - Lista 4, GMA 2015.2 – 24

Calcule

C x y - y x 2 + y 2 d x + 2 x + x x 2 + y 2 d y

Onde C é a curva x 2 16 + y 2 4 = 1 , y 0 , orientada de 4,0 à - 4,0

Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

Essa integral de linha parece um pouco complicada de se calcular diretamente pela definição. Vamos, então, usar o Teorema de Green.

Repara que a curva não é fechada, para aplicarmos o teorema de Green devemos fechar essa curva.

Mas aqui temos um problema: o campo não está definido em toda a região dentro da elipse, pois temos uma descontinuidade na origem, se substituirmos ( 0,0 ) na função teremos zero no denominador. O que faremos então? É simples, basta tirarmos a origem da jogada. Como temos que completar essa curva vamos pegar essa curva completando sem a origem.

Vamos fazer S = C C 1 onde C 1 é uma circunferência de raio 4 e centro na origem. A equação de C 1 vai ser

x 2 + y 2 = 4 2

Pegamos uma circunferência de raio 4 porque o gráfico vai ficar assim

Veja que S   não é positivamente orientada, pois deixa a região a direita. Devemos usar S - , então:

S - F d r = - S F d r = D - F 2 x - F 1 y d x d y

C   F d r + C 1   F d r = - D   F 2 x - F 1 y d x d y

C   F d r = - D   F 2 x - F 1 y d x d y - C 1   F d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x x x 2 + y 2 + 2 x =

= x 2 + y 2 - x ( 2 x ) x 2 + y 2 2 + 2 =

= - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + 2

F 1 y = y x y - y x 2 + y 2 =

= x - x 2 + y 2 - y 2 y x 2 + y 2 2 =

= x - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = x + - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

F 2 x - F 1 y = 2 - x

Passo 3

Logo, temos que resolver o seguinte:

C   F d r = - D   2 - x d x d y - C 1   F d r

Temos que fazer a integral de linha e a integral dupla, vamos começar pela integral de linha.

Passo 4

Parametrizando a semicircunferência, temos:

C 1 = - 4 cos θ , 4 sen θ

Com θ variando de 0 a π

Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:

a b F x t ,   y t σ ' t   d t

C 1 x y - y x 2 + y 2 d x + 2 x + x x 2 + y 2 d y

Temos:

C 1   F d r =   0 π - 4 cos θ 4 sen θ - 4 sen θ 16 ,   - 4 cos θ 16 - 2 4 cos θ 4 sen θ , 4 cos θ d θ =

=   0 π - 16 sen θ cos θ - sen θ 4 ,   - cos θ 4 - 8 cos θ 4 sen θ , 4 cos θ d θ =

=   0 π - 64 sen 2 θ cos θ - sen 2 θ - cos 2 θ - 32 cos 2 θ d θ =

=   0 π - 64 sen 2 θ cos θ - 1 -   32 cos 2 θ   d θ =

Vamos separar essa integral em duas

=   0 π - 64 sen 2 θ cos θ - 1 -   32 cos 2 θ   d θ = = - 64   0 π sen 2 θ cos θ   d θ -   0 π 1 +   32 cos 2 θ   d θ

Passo 5

Começando com

-   0 π 1 +   32 cos 2 θ   d θ

Lembrando que

cos 2 �� = 1 + cos 2 θ 2

Vamos ter,

= -   0 π 1 +   32 1 + cos 2 θ 2   d θ =

= -   0 π 1 +   16 + 16 cos 2 θ   d θ =

= -   0 π 17 + 16 cos 2 θ   d θ =

= - 17 θ + 8 sen 2 θ 0 π =

= - 17 π

Passo 6

Vamos para a outra integral agora

- 64   0 π sen 2 θ cos θ   d θ

Vamos fazer a integral indetermina, ignorando por enquanto os limites e o - 64

sen 2 θ cos θ d θ

Vamos fazer

sen θ = u

Então

d u = cos θ d θ

E a integral vai ficar

sen 2 θ cos θ d θ = u 2 d u

Resolvendo a integral vamos ter

u 2 d u = u 3 3

Voltando para θ

u 3 3 = sen 3 θ 3

Vamos voltar para a integral com os limites e o - 64

- 64   0 π sen 2 θ cos θ   d θ = - 64 sen 3 θ 3 0 π = 0

Passo 7

Então, nossa integral de linha resulta em:

C 1   F d r = - 17 π

Passo 8

Vamos agora para a integral dupla,

D   2 - x d x d y

Onde D é a parte de dentro da circunferência x 2 + y 2 = 16 e de fora da elipse x 2 16 + y 2 4 = 1

Antes de tudo vemos que essa integral vai ser

D   2 - x d x d y = D   2 d x d y - D   x d x d y = 2 Á r e a D - D   x d x d y

Passo 9

Vamos voltar para o gráfico que vimos antes.

A área de D vai ser a área da semicircunferência menos a da semielipse, ou seja

Á r e a D = π 4 2 2 - π 4 2 2 = 8 π - 4 π = 4 π

2 Á r e a D = 8 π

Passo 10

Vamos agora para a integral com x

Como temos várias coisas circulares é jogo usarmos coordenadas polares né? Então

x = r cos θ

y = r sin θ

J = r

A equação da elipse é:

x 2 16 + y 2 4 = 1

r cos θ 2 + 4 r sin θ 2 = 16

r 2 + 3 r 2 sin 2 θ = 16

r 2 1 + 3 sin 2 θ = 16

r = 16 1 + 3 sin 2 θ = 4 1 + 3 sin 2 θ

Então, nossos limites são:

4 1 + 3 sin 2 θ < r < 4

E como estamos no primeiro e segundo quadrantes:

0 < θ < π

Substituindo na integral:

D   x d x d y = 0 π 4 1 + 3 sin 2 θ 4 r 2 cos θ d r d θ

Integrando em r :

0 π r 3 3 cos θ 4 1 + 3 sin 2 θ 4 d θ = 0 π 64 3 cos θ - 64 3 1 + 3 sin 2 θ 3 2 cos θ d θ

Separando em duas integrais:

0 π 64 3 cos θ d θ = 64 3 sin θ 0 π = 0

0 π - 64 3 1 + 3 sin 2 θ 3 2 cos θ d θ

u = sin θ

d u = cos θ d θ

Os novos limites de integração são:

u = sin 0 = 0

u = sin π = 0

0 0 - 64 3 1 + 3 u 2 3 2 d u

Opa, já deu pra ver o que vai rolar né? Uma integral indo de 0 até 0 vale 0 !! Então:

D   x d x d y = 0

Passo 11

E ficamos com: D   2 - x d x d y = 8 π

Passo 12

Agora pra finalizar (FINALMENTE!!!!):

C   F d r = - D   2 - x d x d y 8 π - C 1   F d r - 17 π

C   F d r = - 8 π + 17 π = 9 π

Resposta

9 π

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