Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

USP, Cálculo 3, P2 - 2013, Questão 1b

Calcule γ   - y d x + x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a curva dada por x 2 + y 2 = 9 , x 0 , orientada de ( 0,3 ) a ( 0 , - 3 ) .

Passo 1

Essa integral parece meio complicada de se calcular pela definição, não é? Parametrizar essa circunferência e depois aplicar isso na expressão do campo vai nos dar algo bizarro... Nem tente fazer isso!

Vamos, então, calcular o valor de F 2 x - F 1 y para ver se conseguimos simplificar a questão. Temos:

F 2 = x - 1 x - 1 2 + y 2

F 2 x = 1 x - 1 2 + y 2 - x - 1 2 x - 1 x - 1 2 + y 2 2 = x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 x 2 + 4 x - 2 x - 1 2 + y 2 2

F 1 = - y x - 1 2 + y 2

F 1 y = - 1 x - 1 2 + y 2 + y 2 y x - 1 2 + y 2 2 = - x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 2 y 2 x - 1 2 + y 2 2

Como

F 2 x - F 1 y = 0

Ótimo, o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que esse campo é conservativo, então, não precisamos calcular essa integral pela definição. Vamos, então, calcular a função potencial desse campo. Certo?

É... nesse caso tá meio difícil calcular a função potencial, né? Integrar - y x - 1 2 + y 2 não é muito simples

Então, vamos optar por outro caminho, vamos usar o Teorema de Green. Para isso, precisamos fechar nossa curva, não é? Temos um arco de circunferência que vai de ( 0,3 ) até ( 0 , - 3 ) .

O mais natural e o mais simples é fechar com uma reta, que liga os pontos final de inicial. E quando resolvermos a integral de linha sobre a reta, vamos ter uma expressão relativamente simples.

Temos essa curva aqui então:

Certo? Senta aí que tem mais.

Temos que tomar cuidado com um detalhe: o campo tem uma indeterminação, não está definido no ponto ( 1,0 ) , esse ponto faz o denominador da expressão do campo zerar. Então esse ponto não pode estar dentro da região limitada pela nossa curva. E adinha? Ele está -.-

Ferrou agora, né? Calma, vamos pensar um pouco.

Nós podemos isolar esse ponto, envolvendo ele por uma circunferência. Mas não qualquer circunferência, dá uma olhada na expressão do campo:

F = - y x - 1 2 + y 2 ,   x - 1 x - 1 2 + y 2

Ela está querendo nos dizer algo, né? Repare que o denominador x - 1 2 + y 2 é quase uma circunferência, só falta o “ = r 2 ”. Então, vamos usar a circunferência x - 1 2 + y 2 = 1 para isolar o ponto. Por que? Porque isso vai simplificar muito nossa vida daqui a pouco, confia.

Beleza, então nossa região passa a ser essa aqui:

Repare que a curva toda está orientada positivamente, ou seja, caminhando pela curva, sempre vemos nossa região à esquerda.

Só cuidado com uma coisa: essa orientação da figura não é a mesma que o enunciado deu para γ , então essa curva que desenhamos γ - , beleza? Temos então:

γ -   F d r + r   F d r + c   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y = 0

Onde r é a reta e c a circunferência que nós criamos. Logo, temos:

γ -   F . d r = - r   F d r - c   F d r

γ   F . d r = r   F d r + c   F d r

Beleza,? Vamos calcular essas integrais pela definição agora.

Passo 3

Precisamos agora parametrizar essas curvas que nós criamos.

Para a reta

Como é uma reta contida no eixo y , podemos parametrizá-la assim:

r y = ( 0 , y )

Pois x = 0 para qualquer y , Pela figura, já vemos que y vai de 3 a - 3 (cuidado com o sentido da reta).

Para a circunferência

Nós criamos a seguinte circunferência x - 1 2 + y 2 = 1 , centrada em ( 1,0 ) . Como se trata de uma circunferência, vamos usar coordenadas polares, certo?

x = r cos θ + 1

y = r   s e n   θ

Esse + 1 foi adicionado na definição de x para cancelar o - 1 na equação da circunferência x - 1 2 e, assim, manter a identidade s e n 2 + cos 2   = 1 .

Como temos r = 1 , a parametrização fica:

c θ = ( cos θ + 1 ,   s e n   θ )

Como temos uma volta completa, no sentido horário, θ vai de 2 π a 0 .

Passo 4

Agora vamos derivar essa parametrizações:

r ' y = ( 0,1 )

c   ' θ = ( - s e n   θ , cos θ )

Passo 5

Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:

a b F x θ ,   y θ   σ '   d θ

Para cada uma das curvas. Não se esqueça de escrever o campo

F = - y x - 1 2 + y 2 ,   x - 1 x - 1 2 + y 2

Em função das variáveis de cada parametrização.

Para a reta

r   F d r = 3 - 3 - y - 1 2 + y 2 ,   - 1 - 1 2 + y 2 ( 0,1 )   d y

Esse intervalo de integração é o mesmo que encontramos ao parametrizar a reta.

r   F d r = - 3 3 d y 1 + y 2  

Para a circunferência

Para a outra integral, repare que substituindo a parametrização:

c θ = ( cos θ + 1 ,   s e n   θ )

Na expressão do campo, temos:

F x θ ,   y θ = - s e n   θ 1 ,   cos θ 1

Viu? Por esse motivo que era uma boa escolher essa cincunferência para isolar o ponto ( 1,0 ) , porque, como a sua equação é extremamente parecida com o denominador da expressão do campo, substituindo a parametrização nele as coisas ficam muito mais simples!

A integral fica então:

c   F d r = 2 π 0 ( - s e n   θ , cos θ ) ( - s e n   θ , cos θ )   d θ

c   F d r = 2 π 0 d θ

Passo 6

Agora falta só resolver essa integrais que encontramos:

r   F d r = - - 3 3 d y 1 + y 2   = - a r c t g   y - 3 3 = a r c t g   3 - a r c t g - 3

r   F d r = 2 a r c t g   3

c   F d r = 2 π 0 d θ = - 2 π

Lembrando que a integral de linha que o problema pede é dada por:

γ   F . d r = r   F d r + c   F d r

Temos

γ   F . d r = 2 a r c t g   3 - 2 π

Resposta

2 a r c t g   3 - 2 π

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