Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2015.2, Questão 4

Seja

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + x

Calcular a integral de linha vetorial C F d r , onde C é a curva união das curvas planas C 1 e C 2 :

C 1 é a fronteira do quadrado - 3,3 × - 3,3 orientada no sentido anti-horário

C 2 é a fronteira do quadrado 1 2 , 5 2 × - 1,1 orientado no sentido horário

Passo 1

Bom, o enunciado é bem grande, mas na verdade mesmo o que ele quer é a integral de linha

C F d r

Onde C na verdade são duas curvas, então

C F d r = C 1 F d r + C 2 F d r

Vai dar um trabalho tentar fazer isso da forma direta, não é? Até porque nosso campo é bem complicado também, vamos tentar usar o teorema de Green aqui!

A nossa curva C tem esse esboço aqui

Perceba que já colocamos a região do teorema de Green aqui, nela percebemos um problema: o campo F possui uma singularidade em 0,0 , porque o denominador fica zero! Então pra usar o teorema de Green aqui vamos ter que excluir esse ponto.

Beleza, mas qual a melhor curva pra excluir o ponto?

Bom, aqui vamos escolher uma circunferência α :   x 2 + y 2 = a 2 , onde 0 a 1 2 . Escolhemos essa curva porque o denominador do campo é exatamente x 2 + y 2 , então fica simples de calcular tudo depois.

Resumindo, o nosso novo esboço fica assim

Note que excluímos a singularidade e, para isso, a orientação da curva α deve ser no sentido horário, nunca se esqueça de conferir a orientação da curva, ta bem?

O teorema de Green fica

C F d r + α F d r = D F 2 x - F 1 y d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando essa integral dupla do teorema. Pra isso precisamos derivar o campo F .

F = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + x

F 2 x = x x x 2 + y 2 + x

F 2 x = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 + 1

F 2 x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + 1

Agora derivando F 1

F 1 y = y - y x 2 + y 2

F 1 y = - x 2 + y 2 - 2 y - y x 2 + y 2 2

F 1 y = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Portanto a integral dupla fica

D F 2 x - F 1 y d A

= D y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + 1 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 d A

= D 1 d A = Á r e a   d e   D

Bem mais fácil assim né? Bom, voltando pro nosso esboço, qual é a área de toda aquela região cinza?

A = A C 1 - A C 2 - A α

A área de C 1 é a área do quadrado de lado 6 , logo A C 1 = 36

A área de C 2 é a área do quadrado de lado 2, logo A C 2 = 4

A área de α é a área de um círculo de raio a , logo A α = π a 2

A = 36 - 4 - π a 2

A = 32 - π a 2

D F 2 x - F 1 y d A = 32 - π a 2

Passo 3

Pra terminar a questão ainda falta calcular a integral da curva que acrescentamos, ou seja, a integral de α .

α F d r

Pra isso precisamos parametrizar a curva. Como se trata de uma circunferência, temos

x = a cos t

y = a sen t

Onde

0 t 2 π

Só que queremos a orientação horária de t , certo? Então vamos inverter esses limites aí na integral, beleza?

Fazendo a integral de linha diretamente, precisamos derivar a parametrização da curva, lembra?

x ' = - a sen t

y ' = a cos t

d r = - a sen t , a cos t d t

O campo F fica assim

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + x

F = - a sen t a 2 , a cos t a 2 + a cos t

F = - sen t a , cos t a + a cos t

Juntando tudo na integral

α F d r = 2 π 0 - sen t a , cos t a + a cos t . - a sen t , a cos t d t

= 2 π 0 sen 2 t + cos 2 t + a 2 cos 2 t d t

= 2 π 0 1 + a 2 cos 2 t d t

Pra integrar isso aí, sabemos que

cos 2 t = 1 + cos 2 t 2

Logo

2 π 0 1 + a 2 cos 2 t d t = 2 π 0 1 + a 2 2 + a 2 cos 2 t 2 d t

= t + a 2 2 t + a 2 sen 2 t 4 2 π 0

= - 2 π - π a 2

Passo 4

Agora temos tudo, só juntar no teorema de Green lá do passo 1

C F d r + α F d r = D F 2 x - F 1 y d A

C F d r - 2 π - π a 2 = 32 - π a 2

C F d r = 32 + 2 π

Resposta

32 + 2 π

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