Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2010.2 - 6ª Vespertino, Questão 2b

Seja

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 y

um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo da curva C 2 , orientada no sentido anti-horário, onde:

C 2 é a fronteira do retângulo R = ( x , y ) R 2 | - π x π , - 3 y 3 .

Passo 1

Aqui vamos com calma. Antes de sair parametrizando e calculando a integral pela definição, vamos analisar o problema. Percebeu que parametrizar uma reta e substituir essa parametrização na expressão do campo vai dar algo bizarro, né?

Se você reparar, as componentes do campo são muito parecidas, o que significa que o seu rotacional pode ser zero. Se isso acontecer,nossa vida fica bem mellhor!

Lembrando que, em duas dimensões, o rotacional de um campo de resume a F 2 x - F 1 y .

Bom, temos:

F 2 x - F 1 y = 1 x 2 + y 2 - x 2 x x 2 + y 2 2 + 1 x 2 + y 2 - y 2 y x 2 + y 2 2

F 2 x - F 1 y = 2 x 2 + 2 y 2 - 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Pronto, provamos que o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, se o campo é conservativo e a curva é fechada, quer dizer que a integral dá zero né? Não! Repare que temos um ponto não definido no campo: a origem ( 0,0 ) .

Como esse ponto está dentro de C 2 não podemos simplesmente dizer que a integral dá zero: temos que remover esse ponto e aplicar o Teorema de Green.

Vamos isolar a origem com uma curva S (que gira no sentido horário, para respeitar a orientação positiva). Nesse caso, pelo Teorema de Green, nós temos:

C 1   F d r + S   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y = 0

C 1   F d r = - S   F d r

Ou seja, basta calcularmos a integral em S para achar a integral em C 1 .

Mas quem nós vamos escolher para ser S ? Olhando para a expressão do campo dá pra ver que ele implora pra gente escolher uma circunferência, né?

Vamos escolher S como:

x 2 + y 2 = 1

O que vai nos dar isso aqui:

Passo 3

Bom, agora vamos parametrizar essa curva S . Como se trata de uma circunferência, vamos usar coordenadas polares com r = 1 :

r t = ( cos t ,   s e n   t )

Onde t vai de 2 π a 0 (porque o sentido é hórário).

Passo 4

Agora calculamos r ' t :

r ' t = d ( cos t ) d t ,   d ( s e n   t ) d t = ( - s e n   t ,   cos t )

Passo 5

Vamos, então, usar a fórmula

C 1   F x , y , z d r = a b F x t ,   y t r ' t d t

O campo é dado por

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 y

Aplicando a parametrização, temos

F x t , y t = - s e n   t , cos t + 3   s e n   t

Substituindo então na integral, temos

C 1   F x , y , z d r = 2 π 0 - s e n   t , cos t + 3   s e n   t . ( -   s e n   t ,   cos t ) d t

= - 0 2 π s e n 2 t + cos 2 t + 3 s e n   t cos t d t =

= - 0 2 π 1   + 3 s e n   t cos t d t =

Passo 6

Finalmente, calculamos a integral

= - t + 3 2   s e n 2 t 0 2 π =

= - 2 π

Passo 7

Logo

C 1   F d r = - S   F d r = 2 π

Resposta

2 π

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