Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2017.1, Questão 4

Seja F = P i ^ + Q j ^   um campo vetorial tal que Q x - P y = a , contínuo em R 2 ( 0,0 ) , onde a > 0 é uma constante positiva. Suponha que

γ 0   P d x + Q d y = 6 π

Onde γ 0 é dada por x 2 + y 2 = 1 , orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha vetorial

γ   P d x + Q d y

Onde γ é dada por   x 2 9 + y 2 25 = 1 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos começar a resolver o nosso problema entendendo melhor quem são essas curvas dadas na questão.

Começando por ela, a curva γ 0 , já sabemos que ela nos representa uma circunferência de raio 1 e centrada na origem, dessa forma aqui

Já sabemos também que a nossa segunda curva, a γ , nos representa uma elipse. Mas como é mesmo a cara dessa elipse?

Se a gente colocar aqueles termos por baixo de x e y ao quadrado,

x 2 9 + y 2 25 = 1                 x 2 3 2 + y 2 5 2 = 1    

Observamos que essa elipse é uma elipse centrada na origem e com o eixo maior em cima de y , dessa forma

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como buscamos a integral de linha sobre essa elipse e o cara não nos deu o campo, ele mesmo está nos sugerindo que façamos o problema pelo teorema de Green.

Mas a grande pergunta é, a gente está nas condições de aplicar o nosso amigo Green???

E a resposta é não ainda! Mas a gente vai chegar lá analisando suas condições e nos adaptando a ela, bora lá? :)

  1. A primeira condição nos fala que a gente tem que ter uma superfície fechada que esteja dentro das nossas curvas.
  2. Como que a gente pode fazer isso? Sim! Colocando as duas curvas acima de um único gráfico e pegando a região entre elas! Assim:

  3. A segunda, que a superfície deve estar orientada positivamente.
  4. Bem... se a gente estiver andando em cima dela, a gente tem que a ver toda do lado esquerdo, logo a curva verde tem que estar girando no sentido anti-horário e a vermelha no oposto:

  5. A terceira, que a gente não pode ter singularidades, e a gente de fato não tem nenhuma dentro da nossa superfície entre a curva vermelha e a verde :)

Passo 3

Estamos na condição de Green, bora aplicar o seu teorema!

- γ 0 γ   P d x + Q d y = D   Q x - P y d x d y

Repare que no primeiro membro estamos calculando a integral de linha sobre a união das superfícies e que γ 0 está negativa, pois estamos pegando a sua orientação inversa

Pela propriedade da soma

- γ 0 γ   P d x + Q d y = - γ 0   P d x + Q d y + γ   P d x + Q d y = D   Q x - P y d x d y

Temos o valor de

- γ 0   P d x + Q d y = - 6 π

Logo, a solução do nosso problema é

γ   P d x + Q d y = D   Q x - P y d x d y - - γ 0   P d x + Q d y = D   Q x - P y d x d y + 6 π

Passo 4

Vamos agora encontrar a solução dessa última integral dupla

Q x = P y + a           Q x - P y = a

Colocando esse resultado na integral, teremos

D   Q x - P y d x d y = D   a   d x d y

Como a   é um número qualquer maior que 0 , podemos tira-lo da integral

D   a   d x d y = a D   1   d x d y

Lembre-se que D   1   d x d y nos representa a área da região D que no nosso caso é a área da elipse A E menos a área da circunferência A C .

D   a   d x d y = a D   1   d x d y = a A E - A C

A área da circunferência a gente tem já que o conhecemos o raio

A C = π r 2 = π ( 1 2 ) = π

Um bizu para a gente encontrar a área da elipse sem ter que calcular uma integral é pegar os seus dois eixos e multiplicar por π , dessa forma aqui

x 2 3 2 + y 2 5 2 = 1         A E = 3 × 5 × π = 15 π  

Logo teremos

D   a   d x d y = a D   1   d x d y = a A E - A C = a 15 π - π = 14 a π

Passo 5

Juntando todos esses ingredientes e retornando para o nosso problema inicial teremos

γ   P d x + Q d y = D   Q x - P y d x d y + 6 π = 14 a π + 6 π

Resposta

γ   P d x + Q d y = π ( 14 a + 6 )

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