Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2010.2 - 4

Seja C uma curva parametrizada por γ : [ 0 ,   1 ] R 2 , C 1 por partes como no esboço abaixo tal que γ 0 = ( - 1 ,   0 ) e γ 1 = ( 1,0 ) . Calcule

C   - y x 2 + 4 y 2 d x + x x 2 + 4 y 2 d y

Passo 1

Como não temos a equação dessa curva para calcular a integral de linha pela definição, vamos aplicar o Teorema de Green.

Como a curva γ não é fechada, precisamos criar uma curva que ligue os pontos x = - 1 e x = 1 , que chamaremos de σ . Perceba que o campo vetorial não está definido na origem ( 0,0 ) , pois teríamos zero no denominador, assim, σ não pode ser uma reta. Mais à frente veremos que curva será essa. Orientando positivamente as duas curvas, teremos, então:

γ   F . d r + σ   F . d r = Ω   F 2 x - F 1 y d x d y

γ   F . d r = Ω   F 2 x - F 1 y d x d y - σ   F . d r

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Passo 2

O campo vetorial pode ser escrito como F x ,   y = - y x 2 + 4 y 2 ,   x x 2 + 4 y 2

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x x x 2 + 4 y 2 = x 2 + 4 y 2 - x ( 2 x ) x 2 + 4 y 2 2 = - x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2

F 1 y = y - y x 2 + 4 y 2 = - x 2 + 4 y 2 + y ( 8 y ) x 2 + 4 y 2 2 = - x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2

F 2 x - F 1 y = 0

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

γ   F . d r + σ   F . d r = Ω   0 d x d y = 0

Passo 4

Agora precisamos resolver a integral ao longo de σ , mas que curva será essa? Já que não podemos escolher uma reta, vamos ver que expressão poderia simplificar nossas contas. Veja que nas duas componentes do campo vetorial, temos o termo ( x 2 + 4 y 2 ) no denominador, que se assemelha à expressão de uma elipse.

Se escolhermos a parte com y 0 da elipse x 2 + 4 y 2 = 1 para ser essa curva, teremos σ = cos θ ,   s e n   θ 2 para sua parametrização, certo? Com θ variando de 2 π até π para a orientação ser positiva. Veja que a origem está fora da região limitada pelas curvas.

Assim, teremos s e n 2 θ + cos 2 θ = 1 nos denominadores, o que simplifica bastante.

Passo 5

Agora vamos calcular σ ' :

σ ' = - s e n   θ , cos θ 2

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula a b F x t ,   y t . σ ' t   d t

Temos:

2 π π - s e n   θ 2 s e n 2 θ + cos 2 θ ,   cos θ s e n 2 θ + cos 2 θ . - s e n   θ , cos θ 2 d θ =

= 2 π π - s e n   θ 2 ,   cos θ . - s e n   θ , cos θ 2 d θ =

= 1 2 2 π π s e n 2 θ + cos 2 θ d θ = 1 2 2 π π d θ = - π 2

Passo 7

Agora vamos resolver essa integral:

= 1 2 θ 2 π π = - π 2

Passo 8

Como temos

γ   F . d r = Ω   F 2 x - F 1 y d x d y - σ   F . d r

A integral que buscamos será

γ   F . d r = 0 - - π 2

Resposta

π 2

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