Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

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Enunciado

Seja F → = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 x um campo vetorial definido em R 2 . Calcule a integral ao longo das curvas C 1 e C 2 , orientada no sentido anti-horário, onde:

  1. C 1 é a circunferência da equação x 2 + y 2 = 4 .
  2. C 2 é a fronteira do retângulo R = ( x , y ) ∈   R 2 /   - π ≤ x ≤ π , - 3 ≤ y ≤ 3 .

Passo 1

Vamos começar resolvendo a letra a).

Para este caso, não podemos utilizar o Teorema de Green para resolvermos a questão. Isto ocorre, pois, a função F → não possui derivadas parciais contínuas na origem. Portanto, não podemos aplicar este Teorema.

Por causa disto, precisamos resolver do bom e velho método, utilizando as integrais de linha.

Para isto, começamos parametrizando nossa curva. Logo, γ → t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , t ∈ 0,2 π . Calculando a derivada da curva parametrizada, temos:

γ → ' t = - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t

Agora sim, podemos partir para a integral de linha em si! Vamos as contas!

∫ C 1 F → ⋅ d γ → = ∫ 0 2 π - 2 sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t 2 , 2 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t 2 + 3 ⋅ 2 cos ⁡ t ⋅ - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t d t

Percebam que no lugar de x e y do campo vetorial, aplicamos as coordenadas da curva parametrizada. Além disto, d γ → = γ → ' t d t .

Continuando as contas, temos:

∫ 0 2 π - sen ⁡ t 2 , 13 2 cos ⁡ t ⋅ - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t + 13 cos 2 ⁡ t d t

Mudando para soma de arco duplo para conseguirmos integrar, temos:

∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t 2 + 13 ⋅ 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t = ∫ 0 2 π 7 + 6 cos ⁡ 2 t d t

7 t + 3 sen ⁡ 2 t 0 2 π = 14 π + 3 sen ⁡ 4 π - 0 - sen ⁡ 0

14 π

E assim finalizamos a primeira parte da questão!

Passo 2

Agora temos que calcular uma outra integral de linha sobre uma curva diferente da letra a). O mesmo problema acontece em relação ao teorema de Green. Por causa do problema na origem 0,0 , não conseguimos utilizar este teorema diretamente.

E além do mais, como a região é um retângulo, para parametrizá-la, precisaremos definir 4 curvas diferentes.

Por causa disto, começamos a ter muito trabalho. Bom, temos então duas opções. A primeira, na boa e velha fé, parametrizamos as 4 curvas e calculamos 4 integrais de linha.

Com esta opção não precisamos pensar, só precisamos agir. E qual é a segunda?

Bom, esta segunda pode (e vai) usar mais da nossa cabeça, mas eu garanto que vai ser resolvida bem facilmente! E é com ela que vamos trabalhar.

A ideia aqui é utilizarmos o teorema de Green estendido, para o caso de regiões com furos (a nossa origem é um furo)! Este teorema estendido nos diz que:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = - ∫ C 1 F → ⋅ d γ → + ∫ C 2 F → ⋅ d γ →

Mudamos a orientação da curva C 1 porque ela é interna a C 2 . Então, para mantermos a questão da orientação positiva da região, precisamos colocar a curva C 1 no sentido anti-horário.

Continuando, como já calculamos uma das integrais na letra a), a integral na curva C 2 será:

∫ C 2 F → ⋅ d γ → = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A + ∫ C 1 F → ⋅ d γ →

∫ C 2 F → ⋅ d γ → = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A + 14 π

Então, o nosso problema se resume a um caso de integral duplas! Na região D que é a região do retângulo R menos a região circular formado pela curva C 1 .

Passo 3

Vamos agora calcular a integral dupla definida no Passo 2. Para isto, precisamos saber quem são essas funções P e Q primeiramente.

Para sabermos quem elas são, basta olharmos para o nosso campo vetorial. A sua primeira coordenada é a função P x , y = - y x 2 + y 2 , e a sua segunda coordenada, x x 2 + y 2 + 3 x , é a função Q x , y .

Portanto, as derivadas parciais são:

∂ Q ∂ x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + 3

∂ P ∂ y = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

E sendo assim, a nossa integral dupla se torna:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + 3 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 d A

∬ D 3 d A = 3 ⋅ A

Portanto, só precisamos calcular a área. Subtraindo a área do retângulo da área da circunferência de raio 2, teremos:

3 ⋅ A = 3 ⋅ 2 π ⋅ 6 - π ⋅ 2 2

3 ⋅ A = 3 ⋅ 12 π - 4 π = 24 π

Portanto, o resultado da integral de linha do campo vetorial F → sobre a curva C 2 é dado por:

∫ C 2 F → ⋅ d γ → = 24 π + 14 π = 38 π

Resposta

  1. ∫ 1 F → ⋅ d γ → 14 π

∫ C 2 F → ⋅ d γ → = 38 π

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