Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

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Enunciado

Use o teorema de Green para calcular a integral de linha

∮ C   - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y ,

Em que C é a curva mostrada abaixo, orientada no sentido anti-horário e dada por

r t = 2 + sin ⁡ 5 t cos ⁡ t i + sin ⁡ t j ,             0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Para começar, relaxa! Não vamos trabalhar com essa estrala do mar aí de forma alguma! Isso é só para tentar nos atrapalhar, mas não vai sabe por quê?

Porque esse campo tem um problema na origem!

Veja que não podemos colocarmos o ponto 0 ,   0 no campo dado F ! (é o mesmo campo só escrito de maneira mais elegante, ok?)

F = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

Logo, para aplicar G r e e n , vamos ter que circular esse ponto com uma bola de raio qualquer!

Para facilitar as contas, vamos pegar o raio valendo 1 , beleza?

Ahhh! E vamos nomear essa curva de C 1 !

Passo 2

Bem, antes de aplicar o teorema de G r e e n , nos devemos nos atentar a um detalhe: Qual é a orientação da curva vermelha?

Bem, sabemos que para aplicar G r e e n a curva de fora deve estar girando no sentido anti-horário, o que já acontece. Logo a curva de dentro deve estar girando no sentido contrário:

Agora que estamos nas condições, vamos aplicar G r e e n ...

∮ C ∪ C 1   F d r → = ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Ou seja, a integral na borda de uma região D (no caso são essas duas superfícies C   e   C 1 ), é a integral dupla do rotacional desse campo F !

Podemos separar essa integral do lado direito em

∮ C   F d r → + ∮ C 1   F d r → = ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Bem, então basta calcular essas duas outras integrais aí, e pronto!

Partiu encontrar esse rotacional então?

Passo 3

Primeiro quem são mesmos esse Q e P ?

São os elementos do campo

F = P ,   Q = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

Calculando então essa primeira derivada parcial

∂ Q ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 ∂ x →

Agora aqui, não podemos esquecer-nos de derivar aplicando a regra da razão

∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 x ' - x ∂ x 2 + y 2 ∂ x x 2 + y 2 2 →

Derivando esses caras do denominador

∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 - x 2 x x 2 + y 2 2 =

y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Passo 4

Fazendo o mesmo, mas agora para ∂ P ∂ y :

∂ P ∂ y = ∂ - y x 2 + y 2 ∂ y →

∂ P ∂ x = x 2 + y 2 - y ' - - y ∂ x 2 + y 2 ∂ y x 2 + y 2 2   →

∂ P ∂ x = - x 2 - y 2 - - y 2 y x 2 + y 2 2 =

y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Opa!!! Deu igual! Isso quer dizer que

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 = 0

Passo 5

Voltando então para G r e e n

∮ C   F d r → + ∮ C 1   F d r → = ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∮ C   F d r → + ∮ C 1   F d r → = 0

∮ C   F d r → = - ∮ C 1   F d r →

E quem é essa integral de linha do lado de lá?

É a integral de linha sobre a circunferência que colocamos no problema, porém o sinal indica que devemos tomar ela girando pro outro lado:

Como trocamos o sentido da curva, esse menos desaparece

∮ C   F d r → = ∮ C 1   F d r →

Bem, agora não tem por onde fugir! Devemos parametrizar essa curva aí e integrar direto, bora?

Passo 6

Bem, uma boa parametrização para a circunferência de raio 1 x 2 + y 2 = 1 e que atende aquela orientação é a comparação com a equação da trigonometria

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

Ou seja

x = cos ⁡ θ

y = sin   ⁡ θ

Onde θ   dá uma volta completa

0 ≤ θ ≤ 2 π

Ou seja, a parametrização é assim

γ θ = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ

Bem, mas o que de fato nos interessa aqui é o γ ' , bastando então derivar cada entrada de γ

γ ' θ = - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ

Passo 7

Jogando tudo dentro da integral de linha que devemos resolver

∮ C 1   F d r → = ∫ 0 2 π - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2 γ ' θ d θ   ⇒

∫ 0 2 π - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2 ∙ - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ     ⇒

Trocando esses x e y aí pela parametrização, lembrando que x 2 + y 2 = 1

∫ 0 2 π - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ ∙ - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ   ⇒

Calculando esse produto interno

∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ     ⇒

Epa! Quem é sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ?

É 1 :D

∫ 0 2 π d θ =

  θ 0 2 π = 2 π

Passo 8

Retornando para G r e e n , recordamos que...

∮ C   F d r → = ∮ C 1   F d r →

Portanto

∮ C   F d r → = 2 π

Resposta

2 π

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7) Calcule ∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ é uma curva