Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

(Capítulo 14.7 – Exercício 41) Determine os pontos do cone z 2 = x 2 + y ² que estão mais próximos do ponto (4, 2, 0).

Passo 1

Faaala galera! Para resolver essa questão, devemos encontrar a distância entre o ponto e o cone, isso vai nos dar uma função, blz? Calcularemos as derivadas parciais dessa função e as igualaremos a 0 para descobrirmos qual ou quais são os pontos críticos.

A partir do teste da segunda derivada conseguiremos saber se é um ponto de máximo, de mínimo ou de sela (lembrando que queremos o ponto de mínimo, para a menor distância). Aí substituindo esses pontos na equação da distância, vamos saber qual deles tem a menor distância

Então bora?

Passo 2

Calculando a distância entre o cone e o ponto ( 4,2 , 0 ) :

d x , y , z =   x - 4 2 + y - 2 2 + z ²

d ² = x - 4 2 + y - 2 2 + z ²

Como z ² = x ² + y ² :

d ² = f x , y = x - 4 2 + y - 2 2 + x ² + y ²

Showw, então as derivadas parciais são:

f x = 2 x - 4 + 2 x = 4 x - 8

f y = 2 y - 2 + 2 y = 4 y - 4

Os pontos críticos acontecem quando f x = f y = 0 :

4 x - 8 = 4 y - 4 = 0

Resolvendo o sistema acima encontramos: x = 2 e y = 1 , logo o único ponto crítico é ( 2,1 ) .

Passo 3

Agora vamos fazer o teste da segunda derivada. As derivadas parciais s=de segunda ordem são:

f x x = 4

f y y = 4

f x y = f y x = 0

Showww, então calculando o determinante Hessiano:

D x , y = f x x . f y y - f x y x , y 2

D = 4.4 - 0 ² = 16 > 0

E f x x > 0 , logo ( 2,1 ) é um ponto de mínimo :D

Passo 4

Sabendo que no ponto do cone que tem a menor distância temos x = 2 e y = 1 , vamos encontrar o z :

z ² = 2 ² + 1 ² → z = ± 5

Assim, os pontos que possuem menor distância são   2,1 , 5 e ( 2,1 , - 5 ) , fechou?

Resposta

2,1 , 5 e ( 2,1 , - 5 )

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Determine os pontos da superfície y 2 = 9 + x z que estão mais próximos da origem.
Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0 ,1 ,1 ) .