Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R³

Elaboração própria

Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:

f x , y , z = x 3 + 2 x y + y 2 + z 2 - 5 x - 4 z

Passo 1

Primeiro temos que calcular gradiente:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = 3 x 2 + 2 y - 5,2 y + 2 x , 2 z - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

3 x 2 + 2 y - 5,2 y + 2 x , 2 z - 4 = 0,0 , 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

3 x 2 + 2 y - 5 = 0

2 y + 2 x = 0

2 z - 4 = 0

Pela terceira equação vamos ter

z = 2

Temos que achar x e y dos pontos agora, pela segunda equação vamos ter

y = - x

Substituindo na primeira equação

3 x 2 + 2 - x - 5 = 0

3 x 2 - 2 x - 5 = 0

x = 2 ± - 2 2 - 4 3 - 5 2.3 = 2 ± 4 + 60 6 = 2 ± 64 6 = 2 ± 8 6

Vamos achar os seguintes valores de x

x = 5 3         o u         x = - 1

E os valores correspondentes de y vão ser

y = - 5 3         o u         y = 1

Então os pontos críticos são

- 1,1 , 2

5 3 , - 5 3 , 2

Passo 4

Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

3 x 2 + 2 y - 5,2 y + 2 x , 2 z - 4

f x x = 6 x

f y y = 2

f z z = 2

f x z = f z x = 0

f x y = f y x = 2

f y z = f z y = 0

A matriz Hessiana vai ficar

H = 6 x 2 0 2 2 0 0 0 2

Temos que fazer a conta para os 2 pontos, vamos ter

H - 1,1 , 2 = - 6 2 0 2 2 0 0 0 2

E

H 5 3 , - 5 3 , 2 = 10 2 0 2 2 0 0 0 2

Passo 5

Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto - 1,1 , 2 para isso vamos resolver

- 6 - λ 2 0 2 2 - λ 0 0 0 2 - λ = 0

- 6 - λ 2 - λ 2 - λ - 2.2 2 - λ = 0

- 6 - λ 2 - λ 2 - λ - 4 2 - λ = 0

2 - λ - 6 - λ 2 - λ - 4 = 0

2 - λ - 12 + 4 λ + λ 2 - 4 = 0

2 - λ λ 2 + 4 λ - 16 = 0

2 - λ = 0         o u         λ 2 + 4 λ - 16 = 0

Resolvendo a segunda equação vamos ter

λ = - 4 ± 4 2 - 4 - 16 2 = - 4 ± 16 + 64 2 = - 4 ± 80 2 = - 4 ± 4 5 2 = - 2 ± 2 5

Então os autovalores são

λ 1 = 2

λ 2 = - 2 - 2 5

λ 3 = - 2 + 2 5

Repara que λ 2 é negativo e λ 3 é positivo, então os autovalores estão trocando entre positivo e negativo, isso nos diz que temos um pontos de sela em - 1,1 , 2

Passo 6

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 5 3 , - 5 3 , 2

10 - λ 2 0 2 2 - λ 0 0 0 2 - λ = 0

10 - λ 2 - λ 2 - λ - 2.2 2 - λ = 0

10 - λ 2 - λ 2 - λ - 4 2 - λ = 0

2 - λ 10 - λ 2 - λ - 4 = 0

2 - λ 20 - 12 λ + λ 2 - 4 = 0

2 - λ λ 2 - 12 λ + 16 = 0

2 - λ = 0         o u         λ 2 + 4 λ - 16 = 0

Resolvendo a segunda equação vamos ter

λ = 12 ± - 12 2 - 4 16 2 = 12 ± 144 - 64 2 = 12 ± 80 2 = 12 ± 4 5 2 = 6 ± 2 5

Então os autovalores são

λ 1 = 2

λ 2 = 6 - 2 5

λ 3 = 6 + 2 5

Conseguimos perceber que λ 3 e λ 1 são positivos, mas e aquele cada com subtração? Repara que

2 5 2 = 20

E

6 2 = 36

Então vamos ter aquela subtração sendo positiva, isso nos diz que todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em 5 3 , - 5 3 , 2

Resposta

Pontos de sela: - 1,1 , 2

Pontos de mínimo: 5 3 , - 5 3 , 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas