Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

Suponha que uma função de 3 variáveis com derivadas contínuas até a segunda ordem tenha todas as derivadas parciais se anulando em um ponto. Como a partir da matriz hessiana neste ponto você pode classificar este ponto crítico.

Passo 1

Cara, basicamente ele quer saber como faz para classificar os pontos críticos quando a gente está no R 3 , ou seja, quando a gente tem 3 variáveis x , y , z .

Tem isso explicadinho com exemplos e exercícios lá na nossa amada e linda teoria. Mas vamos dar aquela visão geral aqui como você poderia fazer em sua provinha.

Vem comigo!

Passo 2

Digamos que a gente tem um ponto

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

Nele, todas derivadas parciais de primeira ordem zeram. Então ele é um ponto crítico da função f x , y , z . Vamos usar a matriz hessiana para classificar ele.

Para funções de duas variáveis, ela tinha essa cara:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Mas como é a matriz hessiana dessa função com 3 variáveis? Ela tem essa cara:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Como a gente tem 3 variáveis, a matriz agora é 3 × 3 .

Mas repara que na diagonal a gente contínua tendo as derivadas de segunda ordem, e nas outras casinhas a gente tem as derivadas mistas, num padrão bem parecido com a matriz para f x , y .

Passo 3

Tá beleza! Mas o que mais muda? Cara, antes a gente só calculava o determinante da matriz hessiana para f x , y , mas agora a gente vai precisar calcular os autovalores da nossa matriz 3 × 3 .

E como faz isso? Basicamente, é resolver essa equação:

det ⁡ H P 0 - λ I = 0

Onde I é a matriz identidade. Isso normalmente cai numa equação de 3 ° grau. Aí daí temos 3 raízes, ou seja, três autovalores

λ 1 ,     λ 2 ,     λ 3

Aí é só analisar isso aqui:

  1. Se todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo;
  2. Se todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo;
  3. Se os autovalores alternam entre positivos e negativos, então temos um ponto de sela.

E é assim que você classifica seus pontinhos em R 3 . Fofo, né? haha

Resposta

Discussão nos passos

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