Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R³

Elaboração própria

Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:

f x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - 3 x - 3 y - 3 z + 2

Passo 1

Primeiro temos que calcular gradiente:

f x , y , z = f x , f y , f z

f x , y , z = 3 x 2 - 3,3 y 2 - 2,3 z 2 - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

f = 0

3 x 2 - 3,3 y 2 - 3,3 z 2 - 3 = 0,0 , 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

3 x 2 - 3 = 0 x = ± 1

3 y 2 - 3 = 0 y = ± 1

3 z 2 - 3 = 0 z = ± 1

Então os pontos críticos são

1,1 , 1

1,1 , - 1

1 , - 1,1

1 , - 1 , - 1

- 1,1 , 1

- 1,1 , - 1

- 1 , - 1,1

- 1 , - 1 , - 1

É gente, são OITO PONTOS CRÍTICOS, nessa hora vamos respirar e relaxa, porque a conta para cada um deles é igual fique tranquilo.

Passo 4

Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = 6 x

f y y = 6 y

f z z = 6 z

f x z = f z x = 0

f x y = f y x = 0

f y z = f z y = 0

A matriz Hessiana vai ficar

H = 6 x 0 0 0 6 y 0 0 0 6 z

Temos que fazer a conta para os 8 pontos, vamos ter

H 1,1 , 1 = 6 0 0 0 6 0 0 0 6

E

H 1,1 , - 1 = 6 0 0 0 6 0 0 0 - 6

E

H 1 , - 1,1 = 6 0 0 0 - 6 0 0 0 6

E

H 1 , - 1 , - 1 = 6 0 0 0 - 6 0 0 0 - 6

E

H - 1,1 , 1 = - 6 0 0 0 6 0 0 0 6

E

H - 1,1 , - 1 = - 6 0 0 0 6 0 0 0 - 6

E

H - 1 , - 1,1 = - 6 0 0 0 - 6 0 0 0 6

E

H - 1 , - 1 , - 1 = - 6 0 0 0 - 6 0 0 0 - 6

Passo 5

Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto 1,1 , 1 para isso vamos resolver

6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

6 - λ 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = 6

λ 3 = 6

Todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em ( 1,1 , 1 )

Passo 6

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1,1 , - 1

6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

6 - λ 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1,1 , - 1 )

Passo 7

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1 , - 1,1

6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

6 - λ - 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = - 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1,1 , - 1 )

Passo 8

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1 , - 1 , - 1

6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

6 - λ - 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = - 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1 , - 1 , - 1 )

Passo 9

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1,1 , 1

- 6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

- 6 - λ 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1,1 , 1 )

Passo 10

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1,1 , - 1

- 6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

- 6 - λ 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1,1 , - 1 )

Passo 11

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1 , - 1,1

- 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

- 6 - λ - 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = - 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1 , - 1,1 )

Passo 12

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1 , - 1 , - 1

- 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

- 6 - λ - 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = - 6

λ 3 = - 6

Todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo em ( - 1 , - 1 , - 1 )

Resposta

Pontos de sela: 1,1 , - 1

1 , - 1,1

1 , - 1 , - 1

- 1,1 , 1

- 1,1 , - 1

- 1 , - 1,1

Pontos de máximo:

- 1 , - 1 , - 1

Pontos de mínimo:

1,1 , 1

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