Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

f x , y , z = x 2 + 2 x y + 2 y z + z 2 + 10

E a superfície de nível

S = x , y , z ∈ R 3     f x , y , z = 11 }

a) Classifique os pontos críticos da função f x , y , z determinando se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Vamos classificar todos os pontos críticos da função:

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos.

Para isso, calcular gradiente:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Para a função f em questão, temos:

∇ f x , y , z = 2 x + 2 y , 2 x + 2 z , 2 y + 2 z

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ 2 x + 2 y , 2 x + 2 z , 2 y + 2 z = 0,0 , 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

2 x + 2 y = 0 2 x + 2 z = 0 2 y + 2 z = 0

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira, vamos encontrar: y = z . E substituindo esse resultado na terceira equação, concluímos que z = 0 . Logo, y = 0 , e então x = 0 .

Assim, o único ponto crítico é ( 0,0 , 0 ) . E pra classificá-lo, os autovalores da matriz Hessiana de f avaliada no ponto que queremos classificar. Ou seja, queremos achar H f ( 0,0 , 0 ) .

Passo 5

A matriz Hessiana H f ( 0,0 , 0 ) carrega as derivadas parciais de segunda ordem da função f , avaliadas no ponto ( 0,0 , 0 ) . Então, como:

f x x   =   2 ,   f y y   =   0 ,   f z z   =   2 ,   f x y   =   f y x   =   2 ,   f x z   =   f z x   =   0 ,   f y z   =   f z y   =   2

A matriz Hessiana será:

2 2 0 2 0 2 0 2 2

E pra achar seus autovalores, construímos o polinômio característico de H f ( 0,0 , 0 ) :

λ ( λ - 2 ) 2   - 8 ( λ - 2 )   =   0

( λ - 2 ) ( λ   +   2 ) ( λ - 4 )   = 0

E então, encontramos autovalores iguais a 2 ,   - 2 e 4 . E com dois autovalores positivos e um negativo, concluímos que o ponto ( 0,0 , 0 ) é um ponto de sela.

Resposta

  1. Ponto de sela.

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Determine os pontos da superfície y 2 = 9 + x z que estão mais próximos da origem.
Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0 ,1 ,1 ) .