Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Dada a seguinte e.d.o. linear não homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea associada y c x = c 1 x y 1 x + c 2 x y 2 x + c 3 x y 3 x . Em seguida, encontre a solução particular y p x = u 1 x y 1 x + u 2 x y 2 x + u 3 x y 3 x da equação diferencial pelo método de Variação dos Parâmetros.

y 3 - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 x

Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema:

u 1 ' x y 1 x + u 2 ' x y 2 x + u 3 ' x y 3 x = 0 u 1 ' x y 1 ' x + u 2 ' x y 2 ' x + u 3 ' x y 3 ' x = 0 u 1 ' x y 1 ' ' x + u 2 ' x y 2 ' ' x + u 3 ' x y 3 ' ' x = f x

Passo 1

Vamos a nossa questão! Temos uma EDO linear não homogênea de terceira ordem!

Inicialmente, a questão nos pede para encontrarmos a solução da EDO homogênea associada. Somente depois temos que encontrar a solução particular. Sendo assim, vamos começar determinando a solução complementar, da EDO homogênea associada.

Para isto, vamos igualar a nossa EDO a 0. Logo,

y 3 - 2 y ' ' - y ' + 2 y = 0

Agora, devemos fazer um procedimento semelhante ao que fazemos para EDO’s homogênea de segunda ordem. Um bom candidato a solução é y x = e r x . Vamos descobrir as derivadas desse y x para substituir na nossa EDO e encontrar a equação característica. Portanto,

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

y ' ' ' = r 3 e r x

Então, substituindo na nossa EDO, temos:

r 3 e r x - 2 r 2 e r x - r e r x + 2 e r x = 0

e r x r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Como e r x ≠ 0 para qualquer número real x , então, a nossa equação característica será:

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Percebam que r = 1 é uma solução para esta equação. Se fatorarmos ela, vamos obter:

r - 1 r 2 - r - 2 = 0

Agora fica mais fácil resolver a equação do segundo grau. Com isto, temos:

r - 1 r + 1 r - 2 = 0

Portanto, as raízes são r = 1 , r = - 1 e r = 2 . Sendo assim, concluindo a primeira parte da questão, a solução complementar da EDO será:

y c x = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x

Passo 2

Agora precisamos obter a solução particular da nossa EDO utilizando o método da Variação dos Parâmetros. Pelo enunciado da questão, sabemos que a solução homogênea era da seguinte forma:

y c x = c 1 x y 1 x + c 2 x y 2 x + c 3 x y 3 x

Como calculamos no Passo 1, podemos afirmar que y 1 x = e x , y 2 x = e - x e y 3 x = e 2 x .

Já a solução particular o enunciado disse que ele é da forma y p x = u 1 x y 1 x + u 2 x y 2 x + u 3 x y 3 x . Como já conhecemos as funções y i x , pois são as mesmas da solução homogênea, só nos resta conhecermos as funções u i x .

Só que, como se não bastasse, a questão nos obriga a resolver o sistema abaixo utilizando a regra de Crammer:

u 1 ' x y 1 x + u 2 ' x y 2 x + u 3 ' x y 3 x = 0 u 1 ' x y 1 ' x + u 2 ' x y 2 ' x + u 3 ' x y 3 ' x = 0 u 1 ' x y 1 ' ' x + u 2 ' x y 2 ' ' x + u 3 ' x y 3 ' ' x = f x

Substituindo as relações de y 1 x , y 2 x e y 3 x e sabendo que f x = e 4 x (o segundo membro da EDO), temos:

u 1 ' x e x + u 2 ' x e - x + u 3 ' x e 2 x = 0 u 1 ' x e x - u 2 ' x e - x + 2 u 3 ' x e 2 x = 0 u 1 ' x e x + u 2 ' x e - x + 4 u 3 ' x e 2 x = e 4 x

Reescrevendo na forma matricial, temos:

e x e - x e 2 x e x - e - x 2 e 2 x e x e - x 4 e 2 x u 1 ' u 2 ' u 3 ' = 0 0 e 4 x

Agora, só nos resta resolvermos pelo método de Crammer o sistema acima.

Passo 3

Mas afinal, o que é este método de Crammer??? Vamos entender melhor ele resolvendo para u 1 ' .

Nosso primeiro passo é determinar o determinante da matriz dos coeficientes, isto é:

e x e - x e 2 x e x - e - x 2 e 2 x e x e - x 4 e 2 x = - 4 e 2 x + 2 e 2 x + e 2 x - - e 2 x + 2 e 2 x + 4 e 2 x = - 6 e 2 x

Agora, vamos fazer o seguinte. Como queremos determinar o valor de u 1 ' x (primeira linha da matriz das variáveis), vamos substituir a primeira coluna da matriz dos coeficientes pela matriz coluna dos termos independentes, calcular o determinante e dividir pelo determinante da matriz dos coeficientes.

Confuso? Vejamos abaixo então:

u 1 ' x = 0 e - x e 2 x 0 - e - x 2 e 2 x e 4 x e - x 4 e 2 x - 6 e 2 x

Percebam que o denominador é o que calculamos no início do Passo 3. Já o numerador é a matriz dos coeficientes com a primeira linha trocada pela matriz coluna dos termos independentes. Agora, só nos resta calcularmos o determinante do numerador. Com isto, teremos:

u 1 ' x = 0 + 2 e 5 x + 0 - - e 5 x + 0 + 0 - 6 e 2 x = 3 e 5 x - 6 e 2 x = - e 3 x 2

Agora, vamos repetir para as outras incógnitas u 2 ' x e u 3 ' x . Só que agora, vamos trocar a segunda e terceira coluna pela matriz dos termos independentes, respectivamente. Portanto,

u 2 ' x = e x 0 e 2 x e x 0 2 e 2 x e x e 4 x 4 e 2 x - 6 e 2 x = 0 + 0 + e 7 x - 0 + 2 e 7 x + 0 - 6 e 2 x = - e 7 x - 6 e 2 x = e 5 x 6

u 3 ' x = e x e - x 0 e x - e - x 0 e x e - x e 4 x - 6 e 2 x = - e 4 x + 0 + 0 - 0 + 0 + e 4 x - 6 e 2 x = - 2 e 4 x - 6 e 2 x = e 2 x 3

Passo 4

Por fim, agora que descobrimos os valores de u 1 ' x , u 2 ' x e u 3 ' x , só nos resta integrá-los para descobrirmos os coeficientes u 1 x , u 2 x e u 3 x da nossa solução particular. Portanto,

u 1 x = ∫ u 1 ' x d x = ∫ - e 3 x 2 d x = - e 3 x 6

u 2 x = ∫ u 2 ' x d x = ∫ e 5 x 6 d x = e 5 x 30

u 3 x = ∫ u 3 ' x d x = ∫ e 2 x 3 d x = e 2 x 6

Percebam que não precisamos considerar as constantes da integração. Por fim, a nossa solução particular será:

y p x = u 1 x y 1 x + u 2 x y 2 x + u 3 x y 3 x

y p x = - e 3 x 6 e x + e 5 x 30 e - x + e 2 x 6 e 2 x

y p x = - e 4 x 6 + e 4 x 30 + e 4 x 6 = e 4 x 30

E assim finalizamos a nossa questão.

Resposta

A solução complementar é:

y c x = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x

A solução particular é:

y p x = - e 4 x 6 + e 4 x 30 + e 4 x 6 = e 4 x 30

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