Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Encontre uma solução particular da Equação

L y = y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x + e 2 x x

No intervalo 0 , ∞ , i.e. para x > 0 .

Observação: A equação aqui é de 2 ª ordem.

Sugestão: Encontre soluções particulares separadamente para as equações

L y = e 2 x

E

L y = e 2 x x

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, ele quer a solução particular. Vamos resolver a EDO normalmente e no fim vamos ter a solução particular.

Para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 2 - 4 r + 4 = 0

Passo 2

Para resolver essa equação de 2 grau é tranquilinho né?

Vamos começar achando Δ

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 4 2 - 4.4 . 1

Δ = 16 - 16

Δ = 0

Agora vamos achar as raízes

r = - - 4 ± 0 2.1 = 4 2 = 2

Passo 3

Agora que temos a raiz e vimos que é o caso de raiz única a solução vai ser

y h = C 1 e r x + C 2 x e r x

Trocando o valor de r

y h = C 1 e 2 x + C 2 x e 2 x

Passo 4

Agora temos que achar a solução da EDO

y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x + e 2 x x

Lembrando que a solução vai ser

y = y h + y p

Onde y h é a solução da homogênea associada e y p é a solução da particular.

A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros junto com o método dos coeficientes a determinar, como isso?

Vamos ter

y p = y p 1 + y p 2

Onde y p 1 vai ser a solução particular em relação a e 2 x e y p 2 vai ser a solução particular em relação a e 2 x / x . Podemos separa as soluções particulares em partes e ir achando aos poucos, normalmente fazemos tudo junto, mas como temos um polinômio ali que é de boa de fazer dessa forma que isso vai diminuir nossas contas.

Vamos começar com y p 1

Passo 5

Queremos y p 1 , que vai ser relativo ao polinômio, então a nossa EDO desse cara vai ser

y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x

E a nossa solução particular vai ser

y p 1 = A e 2 x

Mas repara que isso faz parte da solução da homogênea, então devemos fazer

y p 1 = A x e 2 x

Mas isso ainda é solução da homogênea, então multiplicamos por x de novo

y p 1 = A x 2 e 2 x

Beleza, vamos resolver agora

y p 1 ' = 2 A x e 2 x + 2 A x 2 e 2 x

y p 1 ' ' = 2 A e 2 x + 4 A x e 2 x + 4 A x e 2 x + 4 A x 2 e 2 x = 2 A e 2 x + 8 A x e 2 x + 4 A x 2 e 2 x

Substituindo na EDO

2 A e 2 x + 8 A x e 2 x + 4 A x 2 e 2 x - 4 2 A x e 2 x + 2 A x 2 e 2 x + 4 A x 2 e 2 x = e 2 x

2 A e 2 x + 8 A x e 2 x + 4 A x 2 e 2 x - 8 A x e 2 x - 8 A x 2 e 2 x + 4 A x 2 e 2 x = e 2 x

2 A e 2 x = e 2 x

Isso nos diz que

2 A = 1

Assim vamos ter

A = 1 2

Então

y p 1 = x 2 e 2 x 2

Passo 6

Vamos para y p 2 , que vai ser relativo a

y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x x

Nesse caso vamos ao método da variação de parâmetros.

Temos que achar

y p 2 = f 1 y 1 + f 2 y 2

Já temos y 1 e y 2 da homogênea, que vão ser

y 1 = e 2 x

y 2 = x e 2 x

Onde

f 1 ' x = y 2 x B x M

E

f 2 ' x = - y 1 x B x M

Onde B x é aquela função do lado direito da EDO, e M vai ser

M = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

Vamos achar aqui rapidinho M e B x porque vamos usar para achar f 1 e f 2

B x = e 2 x x

E

M = e 2 x ' x e 2 x - x e 2 x ' e 2 x

M = 2 e 2 x x e 2 x - e 2 x + 2 x e 2 x e 2 x

M = 2 x e 4 x - e 4 x - 2 x e 4 x

M = - e 4 x

Passo 7

Vamos começar achando f 1

f 1 ' x = x e 2 x e 2 x x - e 4 x

f 1 ' x = - 1

Vamos ter

f 1 x = ∫ - 1 d x = - x

Passo 8

Vamos agora a f 2

f 2 ' x = - e 2 x e 2 x x - e 4 x

f 2 ' x = 1 x

Então

f 2 x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Passo 9

Assim vamos ter

y p 2 = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p 2 = - x e 2 x + ln ⁡ x x e 2 x

y p 2 = - x e 2 x + x ln ⁡ x e 2 x

E a solução particular vai ser

y p = y p 1 + y p 2

y p = x 2 e 2 x 2 - x e 2 x + x ln ⁡ x e 2 x

Não precisamos da solução geral porque ele só quer a particular

Resposta

y p = x 2 e 2 x 2 - x e 2 x + x ln ⁡ x e 2 x

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