Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil ltda., 2007, pp. 217 - 24

Resolva pelo método da variação dos parâmetros a EDO a seguir e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida:

y ' ' ' - 6 y " = x 2

Passo 1

Vamos começar encontrar a solução da EDO homogênea associada:

y ' ' ' - 6 y " = 0

A equação auxiliar é:

r 3 - 6 r 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos resolvê-la:

r 3 - 6 r 2 = 0

r 2 r - 6 = 0

As raízes são:

r 1 = 0

r 2 = 0

r 3 = 6

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos encontrar a solução da homogênea:

y 1 = e 0 x = 1

y 2 = x e 0 x = x

y 3 = e 6 x

A solução da homogênea associada é:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3

y h = c 1 + c 2 x + c 3 e 6 x

Passo 4

Agora vamos calcular a solução particular da EDO não homogênea:

y ' ' ' - 6 y " = x 2

O método da variação dos parâmetro supõe que :

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

Substituindo:

y p = u 1 + u 2 x + u 3 e 6 x

Porém vimos que para encontrar u 1 . u 2 e u 3 precisamos calcular W ,   W 1 , W 2 e W 3

Passo 5

Vamos calcular W ,   W 1 , W 2 e W 3 :

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Para calculá-lo, vamos calcular as derivadas necessárias:

De y 1 temos:

y 1 = 1

y 1 ' = 0

y 1 " = 0

De y 2 temos:

y 2 = x

y 2 ' = 1

y 2 " = 0

De y 3 temos:

y 3 = e 6 x

y 3 ' = 6 e 6 x

y 3 " = 36 e 6 x

Passo 6

Agora podemos encontrar:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Substituindo:

W = 1 x e 6 x 0 1 6 e 6 x 0 0 36 e 6 x

Como temos uma matriz triangular, o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal:

det ⁡ W = 1 ⋅ 1 ⋅ 36 e 6 x = 36 e 6 x

Passo 7

Vamos calcular W 1 :

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' 1 y 2 " y 3 "

Substituindo:

W 1 = 0 x e 6 x 0 1 6 e 6 x 1 0 36 e 6 x

det ⁡ W 1 = 0 36 e 6 x - 0 - x 0 36 e 6 x - 6 e 6 x + e 6 x 0 - 1 = 6 x e 6 x - e 6 x = e 6 x ( 6 x - 1 )

Passo 8

Vamos calcular W 2 :

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 " 1 y 3 "

Substituindo:

W 2 = 1 0 e 6 x 0 0 6 e 6 x 0 1 36 e 6 x

det ⁡ W 2 = 1 ( 0 ) 36 e 6 x - 6 e 6 x   - 0 0 36 e 6 x - 0 6 e 6 x + e 6 x 0 - 0 = - 6 e 6 x

Passo 9

Vamos calcular W 3 :

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 " y 2 " 1

Substituindo:

W 3 = 1 x 0 0 1 0 0 0 1

det ⁡ W 3 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1

Passo 10

Vamos calcular u 1 :

u 1 = ∫ f x det ⁡ W 1 det ⁡ W d x

Da EDO temos :

f x = x 2

Substituindo:

u 1 = ∫ x 2 e 6 x ( 6 x - 1 ) 36 e 6 x d x

Calculando a integral:

u 1 = 1 36 ∫ 6 x 3 - x 2 d x = 1 36 6 x 4 4 - x 3 3 = x 4 24 - x 3 108

Passo 11

Vamos calcular u 2 :

u 2 = ∫ f x det ⁡ W 2 det ⁡ W d x

Da EDO temos :

f x = x 2

Substituindo:

u 2 = ∫ x 2 ( - 6 e 6 x ) 36 e 6 x d x

Calculando a integral:

u 2 = - 1 6 ∫ x 2 d x = - 1 18 x 3

Passo 12

Vamos calcular u 3 :

u 3 = ∫ f x det ⁡ W 3 det ⁡ W d x

Da EDO temos :

f x = x 2

Substituindo:

u 3 = ∫ x 2 ( 1 ) 36 e 6 x d x

Calculando a integral:

u 3 = 1 36 ∫ x 2 e - 6 x d x

Vamos integrar por partes:

u = x 2

d v = e - 6 x d x

Encontramos:

d u = 2 x d x

v = - e - 6 x 6

Então temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u 3 = 1 36 ∫ x 2 e - 6 x d x = 1 36 - x 2 ( e - 6 x )   6 - ∫ - 2 x e - 6 x 6 d x

u 3 = - 1 216 x 2 e - 6 x - ∫ 2 x e - 6 x d x   ( i )

Vamos usar a integral por partes mais uma vez para calcular essa integral:

∫ 2 x e - 6 x d x

u = 2 x

d v = e - 6 x d x

Encontramos:

v = - e - 6 x 6

d u = 2 d x

A integral fica:

∫ 2 x e - 6 x d x = - 2 x e - 6 x 6 - ∫ - 2 e - 6 x 6 d x = - 1 3 x e - 6 x + e - 6 x 6

Substituindo me ( i ) :

u 3 = - 1 216 x 2 e - 6 x + 1 3 x e - 6 x + e - 6 x 6 = - e - 6 x 216 x 2 + x 3 + 1 18

Passo 13

Podemos então encontrar a solução particular:

y p = u 1 + u 2 x + u 3 e 6 x

Substituindo:

y p = x 4 24 - x 3 108 + x 5 24 - x 4 108 - 1 216 x 2 + x 3 + 1 18

Ajeitando:

y p = - 1 216 x 2 + x 3 + 1 18 - x 3 108 + x 4 1 24 - 1 108 + x 5 24

Passo 14

A solução geral vai ser:

y = y h + y p

y = c 1 + c 2 x + c 3 e 6 x - 1 216 x 2 + x 3 + 1 18 - x 3 108 + x 4 1 24 - 1 108 + x 5 24

Passo 15

Veja que a solução geral está definida para todo x   ∈ ( - ∞ , ∞ ) .

Resposta

y = c 1 + c 2 x + c 3 e 6 x - 1 216 x 2 + x 3 + 1 18 - x 3 108 + x 4 1 24 - 1 108 + x 5 24

x ∈ ( - ∞ , ∞ )

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