Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil, 2007, pp. 217 - 23

Resolva pelo método da variação dos parâmetros a EDO a seguir e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida:

y ' ' ' - 2 y " - y ' + 2 y = e 3 x  

Passo 1

Vamos começar encontrar a solução da EDO homogênea associada:

y ' ' ' - 2 y " - y ' + 2 y = 0

A equação auxiliar é:

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos resolvê-la:

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Colocando - r 2 em evidência:

- r 2 - r + 2 - r + 2 = 0

Colocando ( 2 - r ) em evidência:

2 - r - r 2 + 1 = 0

As raízes são:

r 1 = 2

r 2 = 1

r 3 = - 1

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos encontrar a solução da homogênea:

y 1 = e 2 x

y 2 = e x

y 3 = e - x

A solução da homogênea associada é:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3

y h = c 1 e 2 x + c 2 e x + c 3 e - x

Passo 4

Agora vamos calcular a solução particular da EDO não homogênea:

y ' ' ' - 2 y " - y ' + 2 y = e 2 x  

O método da variação dos parâmetro supõe que :

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

Substituindo:

y p = u 1 e 2 x + u 2 e x + u 3 e - x

Porém vimos que para encontrar u 1 . u 2 e u 3 precisamos calcular W ,   W 1 , W 2 e W 3

Passo 5

Vamos calcular W ,   W 1 , W 2 e W 3 :

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Para calculá-lo, vamos calcular as derivadas necessárias:

De y 1 temos:

y 1 = e 2 x

y 1 ' = 2 e 2 x

y 1 " = 4 e 2 x

De y 2 temos:

y 2 = e x

y 2 ' = e x

y 2 " = e x

De y 3 temos:

y 3 = e - x

y 3 ' = - e - x

y 3 " = e - x

Passo 6

Agora podemos encontrar:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Substituindo:

W = e 2 x e x e - x 2 e 2 x e x - e - x 4 e 2 x e x e - x

det ⁡ W = e 2 x 1 - ( - 1 ) - e x 2 e x + 4 e x + e - x 2 e 3 x - 4 e 3 x = 2 e 2 x - 6 e 2 x - 2 e 2 x = - 6 e 2 x

Passo 7

Vamos calcular W 1 :

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' 1 y 2 " y 3 "

Substituindo:

W 1 = 0 e x e - x 0 e x - e - x 1 e x e - x

det ⁡ W 1 = 0 1 - 1 - e x 0 + e - x + e - x - e x = - 1 - 1 = - 2

Passo 8

Vamos calcular W 2 :

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 " 1 y 3 "

Substituindo:

W 2 = e 2 x 0 e - x 2 e 2 x 0 - e - x 4 e 2 x 1 e - x

det ⁡ W 2 = e 2 x e - x   - 0 2 e x + 4 e x + e - x 2 e 2 x - 0 = e x + 2 e x = 3 e x

Passo 9

Vamos calcular W 3 :

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 " y 2 " 1

Substituindo:

W 3 = e 2 x e x 0 2 e 2 x e x 0 4 e 2 x e x 1

det ⁡ W 3 = e 2 x e x - 0   - e x 2 e 2 x - 0 + 0 2 e 3 x - 4 e 3 x = e 3 x - 2 e 3 x = - e 3 x

Passo 10

Vamos calcular u 1 :

u 1 = ∫ f x det ⁡ W 1 det ⁡ W d x

Da EDO temos :

f x = e 3 x

Substituindo:

u 1 = ∫ e 3 x ( - 2 ) - 6 e 2 x d x

Calculando a integral:

u 1 = 1 3 ∫ e x d x = e x 3

Passo 11

Vamos calcular u 2 :

u 2 = ∫ f x det ⁡ W 2 det ⁡ W d x

Da EDO temos :

f x = e 3 x

Substituindo:

u 2 = ∫ e 3 x 3 e x - 6 e 2 x d x

Calculando a integral:

u 2 = - 1 2 ∫ e 2 x d x = - 1 4 e 2 x

Passo 12

Vamos calcular u 3 :

u 3 = ∫ f x det ⁡ W 3 det ⁡ W d x

Da EDO temos :

f x = e 3 x

Substituindo:

u 3 = ∫ e 3 x - e 3 x - 6 e 2 x d x

Calculando a integral:

u 3 = 1 6 ∫ e 4 x d x

Encontramos:

u 3 = 1 6 ∫ e 4 x d x = 1 24 e 4 x

Passo 13

Podemos então encontrar a solução particular:

y p = u 1 e 2 x + u 2 e x + u 3 e - x

Substituindo:

y p = e x 3 e 2 x - 1 4 e 2 x e x + 1 24 e 4 x e - x

Ajeitando:

y p = e 3 x 3 - e 3 x 4 + e 3 x 24 = 3 e 3 x 24 = e 3 x 8

Passo 14

A solução geral vai ser:

y = y h + y p

y = c 1 e 2 x + c 2 e x + c 3 e - x + e 3 x 8

Passo 15

Veja que a solução geral está definida para todo x   ∈ ( - ∞ , ∞ ) .

Resposta

y = c 1 e 2 x + c 2 e x + c 3 e - x + e 3 x 8

x ∈ ( - ∞ , ∞ )

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