Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

Ver Teoria

Enunciado

Use o método da variação dos parâmetros para resolver a EDO

y ' ' - 6 y ' + 9 y = x e 3 x

Passo 1

Vamos lá. Precisamos resolver uma EDO de segunda ordem (derivada máxima de ordem 2) e que não é homogênea (olha o x e 3 x ).

Como estamos trabalhando com uma EDO não homogênea, a sua solução pode ser escrita da seguinte forma:

y x = y h x + y p x

Em que y h x é a solução da EDO homogênea associada e y p ( x ) é a solução particular do nosso problema. E é em relação a esta solução particular que devemos utilizar o método sugerido pela questão, o método da variação de parâmetros.

Mas, antes disto, vamos obter a solução da EDO homogênea associada.

Passo 2

A EDO homogênea associada ao problema é escrita da seguinte forma:

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0

Portanto, a equação característica desta EDO é:

r 2 - 6 r + 9 = 0

Calculando o Δ , temos:

Δ = - 6 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 - 36 = 0

Como o valor de Δ foi igual a 0, a solução da EDO possui a seguinte forma:

y h x = C 1 e r x + C 2 x e r x

Nos resta então encontrar as raízes da equação característica. Continuando a sua resolução, vamos obter duas raízes iguais, sendo elas r = 3 . Portanto, a solução homogênea da EDO é:

y h x = C 1 e 3 x + C 2 x e 3 x

Passo 3

Agora, podemos partir para o método da variação dos parâmetros. A ideia por trás deste método é transformar as constantes C 1 e C 2 da nossa solução homogênea em duas funções de x . Isto é,

y p = u x e 3 x + v x x e 3 x

E o nosso trabalho é determinarmos quem são essas u x e v x .

Poderíamos desenvolver todo o método aqui para chegar nas fórmulas utilizadas para calcular essas funções acima. Entretanto, vamos utilizar as relações já desenvolvidas em sala de aula e também nos livros!

Portanto, sabemos que as derivadas u ' x e v ' x são dadas por:

u ' x = 0 y 2 g x y 2 ' W y 1 , y 2

v ' x = y 1 0 y 1 ' g x W y 1 , y 2

Caramba. Muita informação agora. Quem são todas essas variáveis acima?

Vamos com calma. Primeiro, vamos relembrar que a nossa EDO é da seguinte forma:

a y ' ' + b y ' + c y = g x

Portanto, se a gente compara com a EDO da questão, sabemos que g x = x e 3 x . Pronto, já sabemos uma informação importante. Agora, quem são esses y 1 e y 2 ?

Bom, y 1 e y 2 são as duas soluções particulares da EDO homogênea associada, calculadas no Passo 2. Portanto, y 1 = e 3 x e y 2 = x e 3 x . Continuando, y 1 ' e y 2 ' são suas derivadas.

Agora sim, estamos quase finalizando. Só nos resta identificarmos W y 1 , y 2 . Esta função é chamada de Wronskiano, e ele é calculada por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e 3 x x e 3 x 3 e 3 x e 3 x + 3 x e 3 x

W y 1 , y 2 = e 3 x e 3 x + 3 x e 3 x - 3 e 3 x x e 3 x

W y 1 , y 2 = e 6 x

Passo 4

Pronto! Só juntarmos todas as informações obtidas até agora para determinarmos o u ' x e v ' x . Logo,

u ' x = 0 x e 3 x x e 3 x e 3 x + 3 x e 3 x e 6 x = - x 2 e 6 x e 6 x = - x 2

v ' x = e 3 x 0 3 e x x e 3 x e 6 x = x e 6 x e 6 x = x

Integrando para obtermos as funções u x e v x , obteremos:

u x = - x 3 3

v x = x 2 2

Percebam que nós nos preocupamos apenas com uma solução particular ao integrarmos, não colocamos a constante de integração. Sendo assim, a solução particular da nossa EDO é:

y p x = - x 3 3 ⋅ e 3 x + x 2 2 ⋅ x e 3 x = x 3 e 3 x 6

Finalizando a questão, a solução da EDO é:

y x = y h x + y p x

y x = C 1 e 3 x + C 2 x e 3 x + x 3 e 3 x 6

Resposta

A solução da EDO é dada por:

y x = C 1 e 3 x + C 2 x e 3 x + x 3 e 3 x 6

Exercícios de Livros Relacionados

14. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = g ( t )
Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução. 12. y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t ; y π 2= 2 ,y ' α 2= 1 ,y ' ' α 2 = - 1
17. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial x 3 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 6 x y ' - 6 y = g t ,x0 Sugestão: Verifique se x , x 2 e x 3 são soluções d
15. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial y 4 - y = g ( t ) Sugestão: As funções sen ⁡ t , cos ⁡ t , senh ⁡ t e cosh ⁡ t formam um conjunto funda
16. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = g ( t ) Se g ( t ) = t - 2 e t , determine Y ( t ) .