Exercícios Resolvidos de Concentradores de Tensões em Flexão

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 243-6.150.

Determine o comprimento L da porção da barra de modo que as tensões de flexão máximas em A , B e C sejam as mesmas. A barra tem espessura de 10   m m .

Para a determinação do coeficiente de concentração de tensões K , utilize o gráfico abaixo:

Passo 1

O que está acontecendo?

Devido à carga P = 350   N aplicada na barra da figura, vão surgir esforços internos nela na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Esses momentos fletores M F l vão gerar tensões normais de flexão σ nas seções transversais da barra, de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento na seção;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer avaliar a tensão em relação à linha neutra de seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

Sendo que aqui, como essa barra tem seções transversais sempre retangulares, vamos ter que:

1. O momento de inércia da área dessas seções vai ser dado pela fórmula:

I z z = b h 3 12

Onde b é a base da seção, igual à espessura de 10   m m da barra para qualquer seção e h é a altura da seção, igual à h A , B = 40   m m para as seções A e B e igual à h C = 60   m m para a seção C .

(Dessa forma, temos que o momentos de inércia da área das seções A e B são iguais.)

& 2. As tensões máximas nessas seções vão ocorrer nas bordas superiores e inferiores das seções, onde y = ± h / 2 :

Além disso...

Nas seções A e B , devido à mudança brusca no tamanho da seção transversal, haverá uma concentração de tensões de acordo com um coeficiente K , de tal forma que a tensão nessas seções vai ser dada por:

σ = - K M F l y I z z

Sendo que o valor de K pode ser encontrando utilizando o gráfico fornecido.

E, por fim...

Ainda temos que, como a carga P = 350   N é a única carga externa na barra e está centralizada entre os dois apoios na barra, os esforços externos e internos nessa barra vão ser simétricos.

Dessa forma, vamos ter que o momento fletor M F l nos pontos A e B vão ser iguais.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual deve ser o comprimento L indicado na figura para que as tensões de flexão máximas no ponto C , que ocorrem nos pontos y = ± h C / 2 :

σ C ,   m á x = - M F l C ± h C / 2 I z z C

Seja igual às tensões de flexão máximas nos pontos A e B , que ocorrem nos pontos y = ± h A , B / 2 , e onde há uma concentração de tensões K

σ A , B , m á x = - K M F l A , B ± h A , B / 2 I z z A , B

Então, para resolver o exercício…

Temos que:

1. Aplicar os métodos da estática (DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos) para descobrir os momentos fletores em A e B (que vão ser iguais) e em C , em função do comprimento L ;

2. Determinar o coeficiente de concentração de tensões K nos pontos A e B ;

& 3. Igualar as tensões máximas σ C ,   m á x e σ A , B , m á x acima e isolar o comprimento L , descobrindo assim qual o valor desse comprimento para que essas tensões sejam iguais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre ou “DCL” da peça!

Nela, temos:

  • No ponto “ D ” na extremidade esquerda da barra, um apoio móvel que vai realizar uma reação na vertical V D ;
  • E no ponto “ E ” na extremidade direita, um apoio fixo que vai realizar uma reação na horizontal H E (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do DCL) e uma reação na vertical V E .

Dessa forma, o nosso DCL fica assim:

Passo 3

Feito o DCL, podemos aplicar o equilíbrio na peça.

Aplicando o somatório de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

V D + V E - 350   N = 0

O que significa que:

V D + V E = 350   N

E aplicando o somatório de momentos em relação ao ponto C , temos:

∑ M C = 0

- V D 200   m m + L / 2 + V E 200   m m + L / 2 = 0

Dividindo tudo por 200   m m + L / 2 e isolando V D , encontramos que:

V D = V E

Aí, substituindo essa relação V D = V E que encontramos na expressão anterior V D + V E = 350   N , encontramos que:

V E + V E = 350   N

O que significa que:

V E = 350   N 2 = 175   N

E, como V D = V E , isso significa que:

V D = V E = 175   N

E assim terminamos de determinar todos os esforços externos na nossa peça.

Passo 4

Em seguida, fazemos uma análise dos esforços internos.

Aqui, nosso objetivo é descobrir os momentos fletores M F l em A , B e C .

Mas como já sabemos que o momento fletor em B é igual ao em A , só precisamos determinar os momentos fletores em A e em C .

Dessa forma, sabendo que as mudanças na seção transversal não afetam os esforços internos, é suficiente observar os esforços internos somente nas seções entre D e C :

...para determinarmos os momentos fletores em A e em C .

Aí, aplicando o equilíbrio de momentos para o desenho acima em relação ao ponto da seção, temos:

∑ M = 0

M F l - V D x = 0

Substituindo V D = 175   N e isolando M F l , encontramos que:

M F l = ( 175   N ) x

Aí, como para o ponto A , x = 200   m m , temos que:

M F l A = M F l A , B = 175   N 200   m m = 35000   N * m m

E como para o ponto C , x = 200   m m + L / 2 , temos:

M F l C = 175   N 200   m m + L / 2 = 35000   N * m m + 87,5   N L

Passo 5

Agora, antes de prosseguir com a resolução do exercício, precisamos determinar o coeficiente de concentração de tensões K   em A e B .

Então vamos olhar para o gráfico de K :

Comparando as medidas indicadas no esquema no topo dessa gráfico com as medidas indicadas na figura original do exercício, vemos que w = 60   m m , h = 40   m m e r = 7   m m .

Assim, podemos calcular as razões:

w h = 60   m m 40   m m = 1,5

&

r h = 7   m m 40   m m = 0,175

Aí, escolhendo a curva para w / h = 1,5 e inserindo o valor da razão r / h = 0,175 no gráfico acima, encontramos que:

K ≅ 1,5

Passo 6

Agora que já:

  • Usamos o que precisávamos dos métodos da estática para determinar os momentos fletores em A e B , M F l A , B e em C , M F l C ;
  • E determinamos o coeficiente de concentração de tensões K em A e B ,

...podemos seguir para a próxima etapa do exercício.

O exercício quer saber qual o comprimento L para o qual as tensões máximas em A , B e C são iguais.

Então vamos igualar essas tensões:

σ C ,   m á x = σ A , B ,   m á x

Aplicando a fórmula da flexão para a determinação das tensões máximas nesses pontos, e lembrando da concentração de tensões nos pontos A e B , vamos ter que:

- M F l C ± h C / 2 I z z C = - K M F l A , B ± h A , B / 2 I z z A , B

Simplificando, isso fica assim:

M F l C   h C I z z C = K M F l A , B   h A , B I z z A , B

Aplicando a formula do momento de inércia da área I z z = b h 3 / 12 de um elemento retangular para cada seção, vamos ter:

M F l C   h C b h C 3 12 = K M F l A , B   h A , B b h A , B 3 12

Simplificando tudo que é possível simplificar, temos:

M F l C h C 2 = K M F l A , B   h A , B 2

Em seguida, substituímos os valores encontrados no passo anterior para M F l C e M F l A , B :

35000   N * m m + 87,5   N L h C 2 = K 35000   N * m m   h A , B 2

Multiplicando tudo por h A , B 2 h C 2 , temos:

35000 + 87,5 L h A , B 2 = K ( 35000 ) h C 2

Aí, fazendo a distributiva do lado esquerdo:

35000 h A , B 2 + 87,5 L h A , B 2 = K ( 35000 ) h C 2

Passando 35000 h A , B 2 para o outro lado e colocando 35000 em evidência:

87,5 L h A , B 2 = 35000 K h C 2 - h A , B 2

E isolando L , encontramos que:

L = 35000 K h C 2 - h A , B 2 87,5 h A , B 2

Por fim, substituindo:

  • K = 1,5 ;
  • h C = 60   m m ;
  • & h A , B = 40   m m ,

Encontramos que:

Resposta

L = 950   m m

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