Exercícios Resolvidos de Concentradores de Tensões em Flexão

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 254 & 262-4.64.

Ranhuras semicirculares de raio r devem ser fresadas nos lados de uma barra de aço, conforme mostra a figura. Usando uma tensão admissível de 60   M P a , determine o maior momento fletor que pode ser aplicado ao elemento quando o raio r das ranhuras semicirculares for ( a ) r = 9   m m e ( b ) r = 18   m m .

Para determinação do coeficiente de concentração de tensões K , utilize o gráfico abaixo:

Passo 1

O que está acontecendo?

Devido ao momento fletor M aplicado na peça da figura, vão surgir nas seções transversais dessa peça tensões de flexão σ de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • M (ou M F l ) é o momento fletor na seção;
  • y é a posição do ponto em que se quer avaliar a tensão em relação à linha neutra da seção;
  • & I (ou I z z ) é o momento de inércia da área da seção,

Agora...

Nesse caso do exercício, como todas as seções transversais dessa peça são retangulares, vamos ter que:

1. A linha neutra das seções dessa peça ficam bem no meio das seções:

Dessa forma, os valores máximos da posição y em relação à linha neutra (que implicam nos valores máximos da tensão σ ) são ± h / 2 .

& 2. O momento de inércia da área das seções dessa peça vai ser dado pela fórmula:

I = b h 3 12

Isso significa que a tensão σ máxima em uma seção dessa peça vai ser:

σ m á x = - M ± h / 2 ( b h 3 / 12 )

O que dá:

σ m á x = ∓ 6 M b h 2

Ou, em módulo:

σ m á x = 6 M b h 2

Daí que, vendo a nossa peça:

...vemos que as suas seções tem uma base b = 18   m m e que tensão máxima na peça vai ocorrer para a seção com as ranhuras semicirculares, onde a altura h vai ser:

h = 108   m m - 2 r

O que é menor que a altura de 108   m m das demais seções.

Agora, além disso...

Na seção das ranhuras nós ainda vamos ter um fator de concentração de tensões K devido à mudança drástica de seção transversal causada pelas ranhuras.

Por causa desse fator, a tensão máxima na seção das ranhuras (que já é a seção de tensão máxima) deve ser multiplicada por um coeficiente de concentração de tensões K .

Ou seja, para a nossa peça:

σ m á x = K 6 M b h 2

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o momento fletor M máximo que pode ser aplicado nessa peça de tal forma que as tensões na peça não superem a tensão admissível σ a d m = 60   M P a .

Ou seja, ele quer saber o momento fletor máximo que ainda satisfaz a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Daí que, substituindo a expressão que acabamos de encontrar para σ m á x :

K 6 M b h 2 ≤ σ a d m

...e isolando M , vamos encontrar que esse momento fletor máximo vai ser dado por:

M ≤ σ a d m b h 2 6 K

Aí, no item ( a ) , o exercício quer que a gente determine esse momento fletor máximo considerando que as ranhuras tem um raio r = 9   m m enquanto que no item ( b ) devemos considerar r = 18   m m .

Então, para resolver o exercício...

Devemos definir, para cada caso ( r = 9   m m e r = 18   m m ):

  • A altura h = 108   m m - 2 r da seção transversal menor da peça;
  • & o coeficiente de concentração de tensões K , que pode ser obtido através do gráfico fornecido.

Feito isso, poderemos aplicar a fórmula que desenvolvemos acima:

M ≤ σ a d m b h 2 6 K

...para cada situação, determinando assim o momento fletor M máximo em cada caso, resolvendo o exercício.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá!

Começando pelo item ( a ) :

Considerando que as ranhuras tem um raio r = 9   m m , a seção menor da peça vai ter uma altura h :

h = 108   m m - 2 r = 108   m m - 2 9   m m = 90   m m

Definida essa altura, podemos definir em seguida o coeficiente de concentração de tensões K para esse caso.

Para tanto, devemos olhar para o gráfico fornecido:

Olhando para o gráfico, vemos que temos que definir as razões D / d e r / d .

Daí que, olhando para o desenho em miniatura no canto do gráfico:

E comparando esse desenho com a nossa peça, identificamos que D = 108   m m , d = h = 90   m m e r = 9   m m .

Dessa forma, conseguimos definir as razões:

D d = 108 90 = 1,2

&

r d = 9 90 = 0,1

Aí, inserindo esses valores no gráfico:

...encontramos que:

K ≅ 2,07

Passo 3

Agora que já definimos a altura e o coeficiente de concentração de tensões para o item ( a ) , já podemos calcular o momento fletor M máximo para esse item.

Aplicando a fórmula que desenvolvemos no passo 1 , temos:

M ≤ σ a d m b h 2 6 K

Substituindo:

  • σ a d m = 60   M P a = 60   N / m m 2 ;
  • b = 18   m m ;
  • h = 90   m m ;
  • & K = 2,07 ,
  • Encontramos que:

    M ≤ 704347   N * m m

    Reescrevendo esse resultado em N * m , temos:

    M ≤ 704   N * m

    O que significa que o momento fletor M máximo permitido no caso em que r = 9   m m é 704   N * m , que é a resposta do item ( a ) .

    Passo 4

    Seguindo para o item ( b ) :

    Considerando que as ranhuras tem um raio r = 18   m m , a seção menor da peça vai ter uma altura h :

    h = 108   m m - 2 r = 108   m m - 2 18   m m = 72   m m

    Em seguida, comparando com a nossa peça as dimensões indicadas no canto do gráfico de K :

    ...encontramos que, no caso do item ( b ) , D = 108   m m , d = h = 72   m m e r = 18   m m .

    Dessa forma, as razões D / d e r / d ficam assim:

    D d = 108 72 = 1,5

    &

    r d = 18 72 = 0,25

    Aí, inserindo os valores dessas razões no gráfico do coeficiente de concentração de tensões K , de forma análoga ao que fizemos no passo 2 , vamos encontrar que:

    K ≅ 1,61

    Passo 5

    Por fim, só falta definir o momento fletor M máximo para o item ( b ) .

    Aplicando a fórmula que desenvolvemos no passo 1 , temos:

    M ≤ σ a d m b h 2 6 K

    Substituindo:

  • σ a d m = 60   M P a = 60   N / m m 2 ;
  • b = 18   m m ;
  • h = 72   m m ;
  • & K = 1,61 ,

Encontramos que:

M ≤ 579578   N * m m

Reescrevendo esse resultado em N * m , temos:

M ≤ 580   N * m

O que significa que o momento fletor M máximo permitido no caso em que r = 18   m m é 580   N * m , que é a resposta do item ( b ) .

Resposta

a   704   N * m

b   580   N * m

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