Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Enunciado

08) Considere as matrizes A = 1 3 3 + i - 2 i - 4 i 3 - i e Q = 1 1 - 1 2 .   Sabendo que Q - 1 A Q é uma matriz diagonal, é correto afirmar que a soma dos elementos na segunda coluna de A 400 é igual a

A) 2 200

B) 3 ⋅ 2 200

C) 2 201

D) 3 ⋅ 3 203

E) 3 ⋅ 2 201

Passo 1

Faaala galerinha, tudo certo com vocês?

Nessa questão temos um problema bem interessante sobre potência de matrizes, essa é uma das principais aplicações da teoria de diagonalização, autovetores e autovalores.

Aqui, basicamente, temos duas matrizes A e Q , e é falado que o produto matricial Q - 1 A Q resulta em uma matriz diagonal, que chamaremos de D .

O objetivo do exercício é determinarmos a soma dos elementos da segunda coluna de A 400 .

Beleza, entendemos o que a questão pede. Mas, vocês lembram como podemos calcular potência de matriz usando essa teoria de diagonalização?

Bom, se tivermos uma matriz B, diagonalizável, tal que:

B = P ⋅ M ⋅ P - 1

Onde P é a matriz dos autovetores e M uma matriz diagonal dos autovalores, podemos afirmar que:

B n = P ⋅ M n ⋅ P - 1

Massa! Essa vai ser a principal ideia desse exercício.

Passo 2

No enunciado é falado que:

D = Q - 1 A Q

Logo:

D =   2 / 3 - 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ⋅ 1 3 ⋅ 3 + i - 2 i - 4 i 3 - i ⋅ 1 1 - 1 2

⇒ D = 1 + i 0 0 1 - i

Daí, voltando à equação matricial e multiplicando em ambos os lados primeiro por Q e depois por Q - 1 , temos:

Q D Q - 1 = Q Q - 1 A Q Q - 1

Lembrando que Q Q - 1 = Q - 1 Q = I , logo:

A = Q D Q - 1

Ou seja, conseguimos escrever A como sendo o produto de uma matriz Q , que vai ser a matriz dos autovetores, e de uma matriz D , diagonal, que vai ser a matriz dos autovalores.

Passo 3

Beleza, agora podemos calcular a potência de A. Lembrando que:

A n = Q ⋅ D n ⋅ Q - 1

Assim, teremos que:

A 400 =   Q ⋅ 1 + i 0 0 1 - i 400 Q - 1

Como D é diagonal, teremos simplesmente que:

1 + i 0 0 1 - i 400 =   1 + i 400 0 0 1 - i 400  

Bora usar um pouco de números complexos pra finalizar esse item. Lembra que:

1 + i = 2 ⋅ c i s π 4

1 - i = 2 ⋅ c i s - π 4

Logo, usando a potência de complexos, vem:

1 + i 400 = 2 400 2 ⋅ c i s ( 100 π )

⇒ 1 + i 400 = 2 200

Analogamente, temos que:

1 - i 400 = 2 200

Assim, voltando à matriz, vem que:

A 400 =   Q ⋅ 2 200 0 0 2 200 ⋅ Q - 1

Agora bora ser esperto pra evitar conta...

Q ⋅ 2 200 0 0 2 200 ⋅ Q - 1 = 2 200 ⋅ Q ⋅ 1 0 0 1 ⋅ Q - 1

= 2 200 ⋅ Q ⋅ I ⋅ Q - 1

= 2 200 ⋅ I

Logo:

A 400 = 2 200 0 0 2 200  

Olha que bonito! Portanto, a soma dos elementos da segunda coluna vale exatamente 2 200 .

Prontinho! Espero que vocês tenham gostado. Até a próxima gente 😉

Resposta

Letra A: 2 200 .