Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Enunciado

A matriz A é simétrica com autovalores 3 , 3 e - 1 . Sabemos que ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( 2 ,   - 1 ,   0 ) são autovetores de A .

(b) Determine uma decomposição espectral de A .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão foi dado algumas informações sobre a matriz a como por exemplo temos três autovalores 3 , 3 e - 1 , foi dado também dois autovetores v 1 = 1 ,   1 ,   1 e v 2 = 2 ,   - 1 ,   0 e no item anterior calculamos mais um autovetor, onde encontramos o autovetor associado ao autovalor - 1 , v 3 = 1,2 , - 3 .

O objetivo principal dessa questão é calculado decomposição espectral da matriz A .

Mas você sabe o que significa decomposição espectral de uma matriz?

A decomposição espectral de uma matriz é uma forma de se escrever a matriz através equação

A = Q D Q T

Onde Q é uma matriz composta pelos autovetores escritos na forma unitária da matriz A e a matriz D é uma matriz composta pelos autovalores da matriz A em sua diagonal principal.

Com essas ideias em mente podemos partir para os cálculos!

Passo 2

Como dito anteriormente a decomposição espectral segue a equação

A = Q D Q T

Primeiro vamos montar as matrizes Q e D .

A matriz Q é formada pelos autovetores unitários da matriz A onde para se obter um vetor unitário devemos dividi-lo pela sua norma, ou seja

Q = v 1 v 1   v 2 v 2   v 3 v 3

Se v 1 = 1 ,   1 ,   1 , v 2 = 2 ,   - 1 ,   0 e v 3 = 1,2 , - 3 , logo

v 1 v 1 = 1 ,   1 ,   1 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 ,   1 ,   1 3

v 1 v 1 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Para v 2

v 2 v 2 = 2 ,   - 1 ,   0 2 2 + - 1 2 + 0 2 = 2 ,   - 1 ,   0 5

v 2 v 2 = 2 5 ,   - 1 5 ,   0

Para v 3

v 3 v 3 = 1,2 , - 3 1 2 + 2 2 + - 3 2 = 1,2 , - 3 14

v 3 v 3 = 1 14 , 2 14 , - 3 14

Substituindo esses vetores da matriz Q , temos

Q = 1 3 2 5 1 14 1 3 - 1 5 2 14 1 3 0 - 3 14

Aproveitando que acabamos de definir a matriz Q , a matriz Q transposta será

Q T = 1 3 1 3 1 3 2 5 - 1 5 0 1 14 2 14 - 3 14

Lembrando que para transformar uma matriz em uma matriz transposta devemos converter o que é linha em coluna e a coluna em linha, como se espetássemos a diagonal principal da matriz e rotacionasse 180°.

Parar definir a matriz D devemos seguir uma formulinha, onde

D = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3

A diagonal principal da matriz D é formada pelos autovalores associados à matriz A , os quais foram dados do enunciado, onde λ 1 = 3 , λ 2 = 3 e λ 3 = - 1 , portanto

D = 3 0 0 0 3 0 0 0 - 1

Passo 3

Já temos todas as ferramentas necessárias para montar a nossa equação, que terá o seguinte aspecto

A = Q D Q T

A = 1 3 2 5 1 14 1 3 - 1 5 2 14 1 3 0 - 3 14 3 0 0 0 3 0 0 0 - 1 1 3 1 3 1 3 2 5 - 1 5 0 1 14 2 14 - 3 14

Resolvendo essas operações, temos

A = 1 3 · 3 2 5 · 3 1 14 · - 1 1 3 · 3 - 1 5 · 3 2 14 · - 1 1 3 · 3 0 · 3 - 3 14 · - 1 1 3 1 3 1 3 2 5 - 1 5 0 1 14 2 14 - 3 14

A = 3 3 6 5 - 1 14 3 3 - 3 5 - 2 14 3 3 0 3 14 1 3 1 3 1 3 2 5 - 1 5 0 1 14 2 14 - 3 14

Continuando o produto das matrizes, para facilitar a visualização, vamos calcular uma coluna de cada vez.

Passo 4

Para a coluna 1:

A = 3 3 · 1 3 + 6 5 · 2 5 + - 1 14 · 1 14 6 5 - 1 14 3 3 · 1 3 + - 3 5 · 2 5 + - 2 14 · 1 14 - 3 5 - 2 14 3 3 · 1 3 + 0 · 2 5 + 3 14 · 1 14 0 3 14

A = 1 + 12 5 - 1 14 6 5 - 1 14 1 - 6 5 - 1 7 - 3 5 - 2 14 1 + 0 + 3 14 0 3 14

A = 233 70 6 5 - 1 14 - 12 35 - 3 5 - 2 14 17 14 0 3 14

Para a coluna 2:

A = 233 70 3 3 · 1 3 + 6 5 · - 1 5 + - 1 14 · 2 14 - 1 14 - 12 35 3 3 · 1 3 + - 3 5 · - 1 5 + - 2 14 · 2 14 - 2 14 17 14 3 3 · 1 3 + 0 · - 1 5 + 3 14 · 2 14 3 14

A = 233 70 1 - 6 5 - 1 7 - 1 14 - 12 35 1 + 3 5 - 2 7 - 2 14 17 14 1 + 0 + 3 7 3 14

A = 233 70 - 12 35 - 1 14 - 12 35 46 35 - 2 14 17 14 10 7 3 14

Para a última coluna:

A = 233 70 - 12 35 3 3 · 1 3 + 6 5 · 0 + - 1 14 · - 3 14 - 12 35 46 35 3 3 · 1 3 + - 3 5 · 0 + - 2 14 · - 3 14 17 14 10 7 3 3 · 1 3 + 0 · 0 + 3 14 · - 3 14

A = 233 70 - 12 35 1 + 0 + 3 14 - 12 35 46 35 1 + 0 + 3 7 17 14 10 7 1 + 0 - 9 14

A = 233 70 - 12 35 17 14 - 12 35 46 35 10 7 17 14 10 7 5 14

Passo 5

Encontramos a matriz A que podemos observar sua simetria, onde uma matriz deve seguir

Da mesma forma da matriz A

A = 233 70 - 12 35 17 14 - 12 35 46 35 10 7 17 14 10 7 5 14

Foi um pouco trabalhoso, não é? Mas tenho certeza que valeu o esforço!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A = 1 3 2 5 1 14 1 3 - 1 5 2 14 1 3 0 - 3 14 3 0 0 0 3 0 0 0 - 1 1 3 1 3 1 3 2 5 - 1 5 0 1 14 2 14 - 3 14

A = 233 70 - 12 35 17 14 - 12 35 46 35 10 7 17 14 10 7 5 14