Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Enunciado

Seja R : R 2 → R 2 a reflexão através de uma reta que passa pela origem.

Considere as afirmativas:

  1. Os autovalores de R são 0 e 1 .
  2. Existem dois autovetores   v → 1 e v → 2 de R tais que v → 1 ,   v → 2 é linearmente independente.
  1. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  2. (I) é falsa e (II) é falsa.
  3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

Tudo tranks então meus amores, o enunciado definiu pra gente a transformação R : R 2 → R 2 como uma reflexão que passa pela origem. E sabendo disso, vamos analisar as afirmativas que ele traz pra gente. Na primeira, ele diz que, os autovalores de R são 0 e 1 .

Hmmm, isso parece um pouco suspeito. Uma reflexão, é uma transformação injetiva, e transformações injetivas tem a propriedade da dimensão do núcleo ser igual a 0 , MAAAAASSS, quando uma transformação tem o autovalor 0 , a dimensão do núcleo é diferente de 0 , fazendo isso tudo se tornar uma inconsistência. Portanto, a afirmativa (I), é falsa.

Passo 2

Agora na letra (b), ele diz pra gente que existem dois autovetores   v → 1 e v → 2 de R tais que v → 1 ,   v → 2 é linearmente independente.

E ora bolas, a reflexão em relação a uma reta, pega um vetor da reta e deixa na própria reta, e pega o vetor ortogonal a essa reta, e leva na sua reflexão. Dessa forma, a reta, e o seus vetores ortogonais serão os autovetores na reflexão, e como eles são ortogonais, também serão linearmente independentes. E dessa forma a afirmativa (II) é verdadeira.

Resposta

Letra d.