Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Enunciado

Seja A uma matriz 4 × 4 e sejam - 5 ,   - 2 ,   0 e 8 seus autovalores. A dimensão do núcleo de A T é:

  1. 2
  2. 3
  3. 1
  4. 0

Passo 1

Belezoca galerinha, esse exercício é pura sagacidade, saca só, ele nos deu os autovetores de A , e nos perguntou a dimensão do núcleo de A T :

A primeira malandragem que a gente precisa lembrar é que a dimensão do núcleo de A é igual a dimensão do núcleo de A T , dado que é A é uma matriz quadrada:

dim ⁡ N u c A = dim ⁡ N u c A T

Passo 2

Belezoca, então se a gente descobrir a dimensão do núcleo de A , vamos descobrir também a dimensão do núcleo de A T . As informações que enunciado nos deu, é que os autovalores de A são - 5 ,   - 2 ,   0   e 8 , e é ai que começa a malandragem. Porque nossa matriz é 4 × 4 , e temos 4 autovalores, isso quer dizer que cada autovalor tem apenas 1 autovetor associado a ele.

Irado, e todo vetor v → pertencente ao núcleo da matriz é dado como:

A v → = 0 →

Ou melhor:

A v → = 0 v →

Ou seja, todo vetor que pertence ao núcleo da matriz sempre vai ser um autovetor associado ao autovalor 0 . Belezoca, então se os vetores do núcleo são aqueles associados a 0 , quer dizer que temos apenas 1 autovetor associado ao autovalor 0 e em consequência disso, temos apenas 1 vetor no núcleo de A :

dim ⁡ N u c A = 1

Portanto:

dim ⁡ N u c A T = 1

Resposta certa, letra (c).

Resposta

Letra (c)