Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Enunciado

A matriz A possui autovetores 3 ,   2 ,   4 e - 3 ,   1 ,   - 4 associados aos autovalores 2 e 5 , respectivamente.

Considere as afirmativas:

  1. Estas informações determinam a 2º colunas de A .
  2. Estas informações determinam a 1 º coluna de A .
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

Belezera meus amores, o enunciado nos deu os autovetores 3 ,   2 ,   4 e - 3 ,   1 ,   - 4 e quer saber se essas informações são suficientes para determinar a 2º e/ou a 1º coluna da atriz A .

Mas calma lá meu patrão, porque se a gente quer determinar uma coluna da matriz podemos multiplicar ela pelos vetores canônicos, por exemplo se a gente quiser descobrir a primeira coluna, multiplicamos a matriz por 1 0 0 , mas se a gente quiser encontrar a segunda coluna, multiplicamos por 0 1 0 e assim funciona de acordo com cada coluna que a gente vai estar interessado em descobrir.

E a maior sagacidade de todas nisso tudo é que o produto matriz-vetor é LINEAR, ou seja, dado dois vetores u → e   v → , temos:

A u → + v → = A u → + A v →

Se a gente multiplicar os vetores por constantes quaisquer a e b , temos que:

A a u → + b v → = a A u → + b A v →

Passo 2

Tá, mas pera lá chefe, isso é interessante pra gente porque pensa aqui comigo, a gente sabe que 3 ,   2 ,   4 e - 3 ,   1 ,   - 4 são autovetores associados a 2   e 5 respectivamente, isso quer dizer que:

A 3 2 4 = 2 3 2 4 ,     A - 3 1 - 4 = 5 - 3 1 - 4

Então saca só, se por exemplo a gente usar a relação linear A u → + v → = A u → + A v → com os autovetores, onde u → = 3 ,   2 ,   4 e v → = - 3 ,   1 ,   - 4 vamos obter:

A 3 2 4 + - 3 1 - 4 = A 3 2 4 + A - 3 1 - 4

A 0 3 0 = 2 3 2 4 + 5 - 3 1 - 4

A 0 3 0 = - 9 9 - 12

Colocando o 3 em evidência, temos que:

3 A 0 1 0 = - 9 9 - 12

A 0 1 0 = 1 3 - 9 9 - 12

A 0 1 0 = - 3 3 - 4

Só que a gente viu no Passo 1, que por pura coincidência do universo, quando multiplicamos a matriz por vetores canônicos, como ( 0 ,   1 ,   0 ) determinamos colunas da matriz, nesse caso descobrimos a 2 º coluna:

A 0 1 0 = - 3 3 - 4

A = * - 3 * * 3 * * - 4 *

Logo a afirmativa (I) é verdadeiran.

Passo 3

Iradosoo, agora queremos verificar se é possível determinar a primeira coluna. Lembra que no Passo 1, vimos que a linearidade do produto matriz-vetor garante que:

A a u → + b v → = a A u → + b A v →

Então se a gente usar os autovetores como u → = 3 ,   2 ,   4 e v → = - 3 ,   1 ,   - 4 e conseguir descobrir um a e um b tal que:

a u → + b v → = 1 ,   0 ,   0

Conseguiremos então descobrir a primeira coluna da matriz A . Logo o sistema que queremos encontrar a solução é:

a 3 ,   2 ,   4 + b - 3 ,   1 ,   - 4 = 1 ,   0 ,   0

3 a - 3 b = 1 2 a + b = 0 4 a - 4 b = 0

Se a gente pegar a primeira linha, temos que:

3 a - 3 b = 1

3 a - b = 1

a - b = 1 3

Show, maaass se a gene pegar a última linha, temos que:

4 a - 4 b = 1

4 a - b = 1

a - b = 1 4

Ou seja, duas respostas diferentes, para equações iguais, isso indica que nosso sistema não possui solução, e se o sistema não possui solução, é impossível usar apenas das informações que temos para descobrir A 1 ,   0 ,   0 e em consequência a primeira coluna. Portanto a afirmativa (II) é falsa! Resposta certa, letra (b)

Resposta

Letra (b)