Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Enunciado

A matriz A é simétrica, λ = 3 é um autovalor de A com multiplicidade 2 e

A ∙ 1 - 1 1 = 1 - 1 1

Determine uma decomposição espectral dessa matriz

Passo 1

Vamos lá pessoal! Vai dar certo!

Temos uma matriz A que sabemos algumas coisas sobre ela:

- Ela é simétrica

- Ela tem um autovalor λ = 3 que tem multiplicidade 2

- A ∙ 1 - 1 1 = 1 ∙ 1 - 1 1

E aí queremos uma decomposição espectral dessa matriz, que é basicamente escrever a matriz A assim:

A = P . D . P - 1

Onde P é uma matriz onde as colunas são os autovetores de A e D é uma matriz diagonal onde a diagonal é formada pelos autovalores de A

Caalma, tem algumas informações que vão ajudar a gente haahaha

- Se o autovalor 3 tem multiplicidade 2, o valor 3 vai aparecer 2 vezes na matriz diagonal

- Se A ∙ 1 - 1 1 = 1 ∙ 1 - 1 1 , sabemos que 1 é um autovalor e ( 1 , - 1,1 ) é um autovetor associado ao autovalor 1. Além disso, concluímos que a matriz A é uma matriz 3x3, então já temos todos os autovalores que precisamos para a matriz D : 3 (com multiplicidade 2) e 1

- Quando uma matriz é simétrica, os autovetores associados a autovalores diferentes vão ser ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles vai ser 0. Logo, o autovetor ( 1 , - 1,1 ) vai ser ortogonal aos autovetores associados ao autovalor 3 ok?

Agora ficou toppp de continuarmos, bora!

Passo 2

Queremos escrever a matriz A nesse formato:

A = P . D . P - 1

A matriz D vai ser formada pelos autovalores de A , que já sabemos que são 3 e 1 . Então:

D = 3 0 0 0 3 0 0 0 1

Belezinha. Mas a matriz P é formada pelos autovetores associados ao autovalor 3 e ao autovalor 1 :

P = ⋮ ⋮ ⋮ v 1 v 2 v 3 ⋮ ⋮ ⋮

Já sabemos que ( 1 , - 1,1 ) é um autovetor associado ao autovalor 1, pois A ∙ 1 - 1 1 = 1 ∙ 1 - 1 1 , então:

P = ⋮ ⋮ 1 v 1 v 2 - 1 ⋮ ⋮ 1

(lembrando que como colocamos o 1 por último na matriz D , precisamos colocar seu autovetor por último na matriz P , sempre tem que estar na ordem ok?)

Para encontrarmos os autovetores associados ao autovalor 3 , vamos lembrar que eles devem ser ortogonais ao vetor ( 1 , - 1,1 ) , porque a matriz é simétrica 😉 então vamos usar isso

Passo 3

Seja ( x , y , z ) um autovetor associado ao autovalor 3. Sabemos que ele tem que ser ortogonal a ( 1 , - 1,1 ) , ou seja

x , y , z ∙ 1 , - 1,1 = 0

x - y + z = 0

Então

z = - x + y

Logo, um vetor ( x , y , z ) que é autovetor de A pode ser escrito assim

x , y , z = x , y , - x + y

x , y , z = x , 0 , - x + 0 , y , y

Então:

x , y , z = x ∙ 1,0 , - 1 + y ∙ 0,1 , 1

Opa! Encontramos 2 autovetores, que é exatamente o que precisávamos!!!

Então, temos dois autovetores associados ao autovalor 3 :

v 1 = 1,0 , - 1

v 2 = ( 0,1 , 1 )

(lembrando que qualquer vetor múltiplo desses também pode ser considerado autovetor ok?)

E repara que de fato os 2 são ortogonais ao autovetor associado a 1 😊

Passo 4

Então, colocando os autovetores associados a 3 na matriz P , temos

P = 1 0 1 0 1 - 1 - 1 1 1

Portanto, a decomposição espectral de A vai ser

A = P . D . P - 1

A = 1 0 1 0 1 - 1 - 1 1 1 . 3 0 0 0 3 0 0 0 1 . 1 0 1 0 1 - 1 - 1 1 1 - 1

Sucessooooo

Resposta

A = 1 0 1 0 1 - 1 - 1 1 1 . 3 0 0 0 3 0 0 0 1 . 1 0 1 0 1 - 1 - 1 1 1 - 1