Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 211 – Fix 7.13

Determine a decomposição espectral de T se:

a   T : R 3 R 3 uma projeção ortogonal no plano x - 2 y - z = 0

b   T : R 4 R 4 uma projeção ortogonal em H = 1,2 , 3,4 , 2,3 , 4,5

Obs.: Não precisa calcular as inversas.

Passo 1

a   Bom a decomposição espectral é simplesmente escrever uma matriz na forma P D P - 1 . Para isso, temos que achar os autovalores e autovetores da T L .

Uma projeção ortogonal possui autovalores 0 e 1 . O autovalor 1 estará associado aos autovalores que fazem parte do plano em que estamos projetando. Os vetores do plano tem essa cara:

x = 2 y + z

2 y + z , y , z = y 2,1 , 0 + z 1,0 , 1

Logo, temos os autovetores 2 , 1,0 e 1,0 , 1 associados ao autovalor 1 .

Quando ao autovetor associado ao autovalor 0 , será o vetor gerador da reta ortogonal ao plano. Este tem suas coordenadas dadas pelos coeficientes da equação do plano:

x - 2 y - z = 0

1 , - 2 , - 1

Logo, 1 , - 2 , - 1 é autovetor associado ao autovalor 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos montar as matrizes:

D = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

P = 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1

E a decomposição espectral é:

P D P - 1 = 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 - 1

Passo 3

b   Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores.

Uma projeção possui autovalores 0 e 1 . Como estamos projetando no plano gerado pelos vetores 1 , 2,3 , 4 e 2,3 , 4,5 , eles serão autovetores associados ao autovalor 1 .

Já o autoespaço associado ao autovalor 0 será o plano ortogonal à esse plano (lembre-se que estamos no R 4 . Para gerar esse plano precisamos de dois vetores L I que sejam ortogonais a 1,2 , 3,4 e a 2,3 , 4,5 . Chamando esse vetor que queremos achar de x , y , z , w , temos:

x + 2 y + 3 z + 4 w = 0 2 x + 3 y + 4 z + 5 w = 0       I I I

Fazendo 2 I - I I :

y + 2 z + 3 w = 0 y = - 2 z - 3 w

Substituindo em I :

x + 2 - 2 z - 3 w + 3 z + 4 w = 0

x - z - 2 w = 0 x = z + 2 w

Logo, os vetores desse plano são desse tipo:

z + 2 w , - 2 z - 3 w , z , w = z 1 , - 2,1 , 0 + w 2 , - 3,0 , 1

Então temos os autovetores 1 , - 2,1 , 0 e 2 , - 3,0 , 1 associados ao autovalor 0 .

Passo 4

Agora vamos montar nossas matrizes:

D = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P = 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1

Então a decomposição espectral fica:

P D P - 1 = 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 - 1

Resposta

a   2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 - 1

b   1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 - 1

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